Нормы векторов и матриц

Вычислительные методы линейной алгебры

Вычислительные методы линейной алгебры изучают численные методы решения следующих задач:

1) Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

2) Вычислить определитель квадратной матрицы A.

3) Для данной квадратной матрицы A найти обратную A ^–1.

4) Определить собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы A.

Нормы векторов и матриц

Приведем определения норм векторов и матриц [1]. Пусть задан вектор x = (x ₁, x ₂, …, x_n) ^T. Наиболее часто для векторов используются следующие нормы:

 

(3.1)

(3.2)

(3.3)

 

Норма (3.3) порождена скалярным произведением векторов

 

.

 

Для скалярного произведения справедливы следующие соотношения:

 

.

 

Если A симметричная матрица, то (A x, y) = (x, A y).

Определение 3.1. Нормой матрицы A называется число

 

. (3.4)

 

Согласованные с нормами векторов (3.1) — (3.3) нормы матриц определяются формулами

 

(3.5)

(3.6)

(3.7)

 

Здесь — собственные значения матрицы A^TA, которая является симметричной. Чтобы обосновать формулу (3.7) рассмотрим определение нормы матрицы (3.4):

 

 

Можно доказать [1], что для симметричной матрицы B верно соотношение

, (3.8)

 

где λ _i — собственные значения матрицы B. Отсюда следует формула (3.7).

Пример 3.1. Вычислить нормы || x ||₁, || x ||₂, || x ||₃ вектора x = (1, 2, – 3)^T.

Решение. Пользуясь определениями норм (3.1) — (3.3), вычислим

 

Пример 3.2. Вычислить нормы || A ||₁, || A ||₂, || A ||₃ матрицы

 

 

Решение. По формулам (3.5), (3.6) находим нормы матриц

 

 

Чтобы вычислить норму матрицы по формуле (3.7) необходимо найти собственные значения матрицы, полученной умножением транспонированной матрицы A^T на данную матрицу A:

 

.

 

Не вдаваясь пока в подробности методов вычисления собственных значений матриц, вычислим в программе Mathcad собственные значения матрицы с помощью функции eigenvals:

 

 

 

Теперь мы можем вычислить норму матрицы по формуле (3.7):

 

 

Определение 3.2. Две нормы || x ||_α и || x ||_β называются эквивалентными, если существуют постоянные γ₁ и γ₂ такие, что при всех x ≠ 0 справедливы соотношения

|| x ||_α/|| x ||_β ≤ γ₁, || x ||_β /|| x ||_α ≤ γ₂.

 

Нормы || x ||₁, || x ||₂, || x ||₃ эквивалентны между собой, так как выполняются неравенства [1]

|| x ||₁ ≤ || x ||₃ ≤ || x ||₂ ≤ n || x ||₁.

 

Из эквивалентности норм || x ||₁, || x ||₂, || x ||₃ следует, что, если последовательность векторов сходится по одной из этих норм, то она сходится и по остальным нормам.

Ниже мы будем подразумевать под нормой || x || одну из указанных норм, а при необходимости конкретизировать, какую именно. При этом будем под нормой матрицы подразумевать норму, согласованную с нормой вектора.