Методы расчета надежности невосстанавливаемых систем

При расчете вероятности безотказной работы, средней наработки до возникновения первого отказа элементы системы рассматриваются как невосстанавливаемые. В этом случае, если структура системы сводится к основному или резервному соединению элементов, при условии, что работа одного из параллельно соединенных элементов обеспечивает работоспособное состояние системы, показатели безотказности последней определяется по показателям классического метода расчета надежности.

Поскольку при основном соединении элементов (см. рис. 3.1,а) работоспособное состояние системы имеет место при совпадении работоспособных состояний всех элементов, то вероятность этого состояния системы определяется произведение вероятности работоспособных состояний всех элементов (16). Если система состоит из последовательно включенных элементов, то при вероятности безотказной работы каждого из элементов p_i(t) вероятность безотказной работы системы

. (3.1)

При параллельном соединении элементов и при условии, что для работы системы достаточно работы одного из включенных параллельно элементов, отказ системы является совместным событием, имеющим место при отказе всех параллельно включенных элементов. Если параллельно включены m элементов (см. рис. 3.1,б) и вероятность отказа каждого q_j(t)=1- q_j(t), то вероятность отказа этой системы

(3.2)

Если структурная схема надежности состоит из последовательного и параллельно соединенных элементов, то расчет ее надежности может быть произведен с использованием (3.1), (3.2). Так, для системы, структурная схема надежности которой представлена на рис 3.1,в, вероятность безотказной работы:

.

Пример:

Рассчитать с помощью (3.1) и (3.2) вероятности безотказной работы за 200 часов Р (2000)систем регулирования уровня, структурные схемы которых представлены на рис. 3.2 б,в, при последующих вероятностях безотказной работы элементов: 0,94; р _Зд=0,99; р _Р=0,93; р _ИМ=0,92; р _РО=0,74.

Решение:

Вероятность безотказной работы системы в случае обязательной работы регулирующих органов (рис.3.2 б) составит

Если для работысистемы достаточно работы одного регулирующего органа (рис. 3.2 в)

 

Чтобы определить значение средней наработки системы до отказа и другие показатели надежности, требуется знать законы распределения времени безотказной работы элементов (наработки до отказа) системы. Поскольку на участке с удовлетворительной точностью в качестве закона распределения времени безотказной работы элементов может быть принят экспоненциальный, то при основном соединении элементов, если

, (3.3)

где .

При резервном соединении m элементов, имеющих экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы, вероятность отказа группы параллельно включенных элементов

. (3.4)

А вероятность безотказной работы системы (надежность системы)

. (3.5)

Если все элементы равнонадежны и l₁=l₂=l _m =l _j =l, то ; .

Рассмотренный метод расчета широко применяется для оценки надежности локальных систем и элементов, входящих в их состав. На стадии проектировании при известных интенсивностях отказов элементов оценивают вероятность безотказной работы системы и предусматривают мероприятия, направленные на ее повышение и заключающееся в резервировании наименее надежных и наиболее ответственных элементов, облегчении условия эксплуатации, снижения уровня нагрузки и др.

Влияние отклонения данных на стадии завершения технического проекта, когда проведена эксплуатация опытных образцов устройства, учитывают путем использования поправочных коэффициентов.

Во многих случаях рассмотренный способ расчета надежности не может быть использован, так как не всегда схема надежности содержит последовательно-параллельное соединение элементов (например, рис. 3.4).

Рис. 3.4. Мостиковая схема соединения элементов

 

Метод перебора состояний. Расчету надежности любой системы независимо от используемого метода предшествует определение двух непересекающихся множеств состояний элементов, соответствующих множеств состояний элементов, соответствующих работоспособному и неработоспособному состояниям системы. Каждое из этих состояний характеризуется набором элементов, находящихся в работоспособном и неработоспособных состояниях. Поскольку при независимых отказах вероятность каждого из состояний определяется произведением вероятностей нахождение элементов в соответствующих состояниях, то при числе состояний, равно m, вероятность работоспособного состояние системы

; (3.6)

вероятность отказа

(3.7)

где m – общее число работоспособных состояний, в каждом j -м из которых число исправных элементов равно l_j, а вышедших из строя – k_j.

Расчет с использованием метода перебора состояний удобно представить в виде табл. 3.1, где знаком плюс отмечены работоспособные состояния, а знаком минус – неработоспособные. В числовом примере все элементы приняты равнонадежными с вероятностью безотказной работы, равной 0,9, за заданное время:

Таблица 3.1.

Номер состояния	Состояние элементов	Вероятность состояний
1.	+	+	+	+	+	р 1 р 2 р 3 р 4 р 5=0,95
2.	-	+	+	+	+
3.	+	-	+	+	+
4.	+	+	-	+	+
5.	+	+	+	-	+
6.	+	+	+	+	-
7.	-	+	-	+	+
8.	-	+	+	-	+
9.	-	+	+	+	-
10.	+	-	-	+	+
11.	+	-	+	-	+
12.	+	-	+	+	-
13.	+	+	-	+	-
14.	+	+	+	-	-
15.	-	+	-	+	-
16.	+	-	+	-	-

Из рассмотренного примера видно, что даже при сравнительно простой структуре применения метода перебора состояний сопряжено с громоздкими выкладками.

Метод разложения относительно особого элемента. Этот метод основан на использовании формулы полной вероятности . В сложной системе выделяется особый элемент, все возможные состояния H_i которого образуют полную группу, P =1. Если анализируемое состояние системы А, то его вероятность

P = P P = P_{i .} (3.8)

Второй сомножитель в (3.8) определяет вероятность состояние А при условии, что особый элемент находится в состоянии H_i. Рассмотрение H_i-го состояние особого элемента как безусловного позволяет упростить структурную схему надежности и свести ее к последовательно-параллельному соединению элементов.

Так, в рассматриваемой схеме выделение элемента 5 в качестве особого с двумя возможными состояниями (1- наличие и 2 – отсутствие цепи) P = p₅ ; P =q₅ позволяет от структурной схемы, представленной на рис. 3.4, прейти при безусловно исправном состоянии элемента 5 к схеме, представленной на рис 3.5,а. при отказе элемента 5 структурная схема имеет вид, представленный на рис. 3.5,б. если состояние А – наличие цепи между а и б, то в соответствии с (3.1) и (3.2) имеет

 

P₁{A}=p₅(1 - q₁q₂)(1 - q₃q₄)=0,882;

P₂{A}=q₅[1 - (1 – p₁p₃)(1-p₂p₄)]=0,0964;

P{A}=P₁{A} + P₂{A}=p₅(1 - q₁q₂)(1 - q₃q₄) + q₅(p₁p₃ + p₂p₄ – p₁p₂p₃p₄)=0,978.

 

Сопоставление обоих методов расчета надежности показывает, что выделение особого элемента с последующим анализом упрощенных структурных схем существенно сокращает выкладки.

Используя формулы полной вероятности и производя последовательное выделение особых элементов, можно проанализировать сложные системы, имеющие перекрестные связи. Так, вероятность безотказной работы двойной мостиковой схемы (рис. 3.6)

 

P{A}=p₅{p₆(1 - q₁q₂)(1 - q₃q₄) (1 – q₇q₈) + q₆(1 – q₁q₂)(p₃p₇ + p₄p₈ – p₃p₇p₄p₈)} + q₅{p₆(p₁p₃ + p₂p₄ - p₁p₂p₃p₄)(1 – q₇q₈) + q₆(p₁p₃p₇ + p₂p₄p₈ – p₁p₃p₇p₂p₄p₈)}.

 

Метод минимальных путей и сечений. В ряде случаев для анализа надежности сложной системы бывает достаточным определить граничные оценки надежности сверху и снизу.

При оценке вероятности безотказной работы сверху определяют минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. При формировании пути, считая, что все элементы находятся в неработоспособном состоянии, производят подбор вариантов соединений элементов, обеспечивающих наличие цепи. Набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в пределах одного пути элементы находятся в основном соединении, а сами пути включаются параллельно. Так, для рассмотренной мостиковой схемы (см. рис. 3.4) набор минимальных путей представлен на рис. 3.7. Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху:

 

P_B=1 – Q₁₃Q₂₄Q₁₅₄Q₂₅₃=1 – (1 – p₂p₃)(1 – p₂p₄) (1 – p₁p₅p₄)(1 – p₂p₅p₃)=0,997.

 

При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы. При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы. Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В пределах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличие работоспособного состояния любого из элементов сечения.

Схема минимальных сечений для мостиковой схемы приведена на рис. 3.8. Поскольку один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу

P_H = p₁₂p₃₄p₁₅₄p₂₅₃ = (1 – q₁q₂)(1 – q₃q₄) (1 – q₁q₅q₄)(1 – q₂q₅q₃)=0,978.

 

В рассматриваемом примере оценка безотказности снизу совпадает с фактической безотказностью, рассчитанной по первым двум методам.

Таким образом, при составлении минимальных путей и сечении любая система преобразуется в структуру с параллельно-последовательным или последовательно-параллельным соединением элементов.