Студопедия — Собственные значения и собственные векторы матрицы
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Собственные значения и собственные векторы матрицы






 

Определение. Рассмотрим квадратную матрицу . Пусть для некоторого ненулевого вектора и числа l выполняется равенство

АХ = λ Х. (8)

Тогда вектор называется собственным вектором матрицы А, а числоназывается собственным значением этой матрицы.

Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением.

Определение. Корнем многочлена называется значение переменной, обращающее этот многочлен в нуль. Корнем матричного многочлена будет матрица, обращающая этот многочлен в нулевую матрицу.

 

Теорема 1. Собственные значения матрицы А являются корнями характеристического многочлена .

Верно и обратное: каждый корень характеристического многочлена матрицы А будет её собственным значением.

Теорема 2. Если – собственные значения матрицы А, то:

1)

2)

Эти равенства можно использовать в качестве проверки вычисленных собственных значений.

Теорема 3. (Теорема Гамильтона – Кэли).

Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, т. е. , где под нулём понимается нулевая матрица, а под свободным членом характеристического многочлена – этот свободный член, умноженный на единичную матрицу.

 

Пример 1. Найти собственные значения матрицы и проверить правильность решения по теореме 3. Проиллюстрировать теорему Гамильтона – Кэли.

Решение. Чтобы найти собственные значения, приравняем к нулю характеристический многочлен:

=0.

Корни квадратного уравнения: .

Сумма корней ; произведение корней .

Подставим матрицу А в характеристический многочлен:

.

В результате получили нулевую матрицу. Это и означает, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.

 

Пример 2. Показать, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Решение. ;

(.

Найдём характеристический многочлен матрицы:

.

Вычислим , для этого нужно найти

, и .

Тогда

.

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 1564. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ИНЪЕКЦИЙ К лекарственным формам для инъекций относятся водные, спиртовые и масляные растворы, суспензии, эмульсии, ново­галеновые препараты, жидкие органопрепараты и жидкие экс­тракты, а также порошки и таблетки для имплантации...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия