Характеристическая матрица и характеристический многочлен

Собственные значения и собственные векторы матрицы

 

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Основные вопросы:

1. Характеристическая матрица и характеристический многочлен

2. Собственные значения и собственные векторы матрицы

3. Нахождение собственных векторов

 

Характеристическая матрица и характеристический многочлен

Рассмотрим квадратную матрицу п -го порядка:

. (1)

Умножим единичную матрицу того же порядка на число l и вычтем её из матрицы А.

Определение. Матрица вида

, (2)

где λ − независимая переменная, называется характеристической матрицей для матрицы А.

Определение. Определитель характеристической матрицы (2)

(3)

называется характеристическим многочленом матрицы А.

Действительно, выражение (3) является многочленом относительно λ, в чём легко убедиться, вычислив определитель любым способом, например, разложением по первой строке. Степень характеристического многочлена матрицы равна порядку этой матрицы, в данном случае эта степень равна n.

Определение. Следом матрицы А называется сумма её диагональных элементов:

. (4)

Найдём характеристические многочлены для квадратных матриц 2-го и 3-го порядков.

1. Для матрицы 2-го порядка

,

. (5)

где , или − величина определителя матрицы А.

2. Для матрицы 3-го порядка

,

. (6)

Доказательство. Разложим определитель по первой строке:

=

=

, ч.т.д.

В общем виде характеристический многочлен можно записать в виде:

. (7)

Если положить λ = 0, то есть свободный член многочлена, равный определителю матрицы А. Это видно и из формулы (2).

 

Пример 1. Найти характеристический многочлен матрицы .

Решение.

.

Пример 2. Найти характеристический многочлен матрицы .

Решение. Характеристический многочлен найдём, разложив определитель по первой строке:

.

Проверим правильность вычисления коэффициентов по формуле (6):

.

;

.