Задачи для самостоятельного решения. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А:

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А:

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. .

 

Ответы к задачам 4 – 12:

4. , , .

5. , , .

6. , , .

7. , , , .

8. , , , .

9. , , , .

10. , , , .

11. , , , .

12. ,

, , .

 

II. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

> restart:

Зададим матрицу и определим её тип.

> restart:

> with(linalg): with(LinearAlgebra):

Найдём характеристическую матрицу:

Характеристический многочлен:

Найдём следы двух матриц:

 

Найдём её собственные значения и собственные векторы:

 

> eigenvalues(B);

> eigenvectors(B);

Здесь 5 – первое собственное значение кратности 1. В фигурных скобках находится соответствующий собственный вектор (2,1). Соответственно -1 – это второе собственное значение кратности 1, соответствующий собственный вектор (-1,1).

Зададим другую матрицу.

Проделайте с ней те же вычисления.

Теперь зададим матрицу 3-го порядка.

>

Разложим характеристический многочлен на множители:

Видно, что корнями являются числа 1 (два раза, т.е. кратность этого корня 2) и 2 (кратностью 1). Найдём собственные значения матрицы М, которые и являются корнями характеристического многочлена. Для этого решим уравнение =0:

Можно задать корни в виде списка:

Найдём собственные векторы матрицы М:

Выведен список l, первым элементом которого является столбец собственных значений, а вторым – матрица, строки которой представляют собой соответствующие собственные векторы. Выделим элементы этого списка.

Теперь выделим строки матрицы:

Задание 1. Проделайте те же действия над матрицей .

ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯ ТЕОРЕМ 2 И 3

1) Проверим выполнение теоремы 2, т.е. убедимся в том, что сумма собственных значений матрицы М равна её следу, а их произведение равно определителю этой матрицы.

2) Проверим выполнение теоремы 3 (теоремы Гамильтона-Кэли), т.е. убедимся в том, что квадратная матрица М является корнем своего характеристического многочлена. Подставим матрицу М в многочлен ст.

Для формирования свободного члена зададим единичную матрицу и умножим её на -2.

Найдём квадрат матрицы М:

Теперь найдём куб:

Составим многочлен в точке М и убедимся в том, что он равен нулю (нулевой матрице).

ЗАДАНИЯ.

Найти характеристические матрицы и многочлены следующих матриц:

6) ; 9) ; 12) .

Вычислить их собственные значения и собственные векторы. Проверить выполнение теорем 2 и 3.