Определение абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений погрешность

Для того, чтобы найти физическую величину а путем косвенных измерений, проводят необходимое количество прямых измерений (x,y,z и т.д.), а результат косвенного измерения находят по формуле, устанавливающей связь между прямыми и косвенными измерениями

В связи с тем, что результаты наших измерений являются приближенными, то и результат определения искомой величины так же будет приближенным. При этом погрешность результата очевидно должна определяться не только точностью наших измерений, но и видом зависимости. В этом случае используют приемы дифференциального исчисления.

Постановка задачи. Пусть известен набор величин x ±D x, y ±D y, z ±D z..., гдеD x, D y, D z - погрешности непосредственных измерений, определенные так, как это описано в предыдущем параграфе. Как определить абсолютную погрешность величины a?. Учтем, что чаще всего погрешности непосредственных измерений значительно меньше измеряемых величин, составляя несколько процентов и менее от них. Т.е. ïD x ï«ï x ï, ïD y ï«ï y ï, ïD z ï«ï z ï ... Тогда формально можно погрешность считать малым приращением измеряемой величины, заменить символы:D x» dx, D y» dy, D z» dz,... D a» da - и для нахождения величины D a использовать математический аппарат дифференциального исчисления

(6.1)

Здесь - частная производная, которая вычисляется по обычным правилам дифференцирования. При ее определении все остальные аргументы функции f (кроме x) следует считать постоянными и равными их средним значениям. Слагаемое соответствует погрешности, вносимой в полную погрешность D a неточностью измерения только величины x (в предположении, что все остальные величины: y, z,.... - измерены без ошибок). Аналогичный смысл имеют все остальные слагаемые. Таким образом, оценить абсолютную погрешность величины а при косвенных измерениях можно по формуле

(6.2)

где

, , ,....

Для того чтобы сразу определить относительную погрешность величины а- , разделим D a на а и примем во внимание, что выражение удобно преобразовать в .

Тогда

(6.3)

Приведем таблицу (Табл.2) для оценки погрешности некоторых часто встречающихся при вычислениях комбинаций измеряемых величин.

При вычислении погрешностей косвенного измерения необходимо помнить, что абсолютная погрешность каждого прямого измерения оценивается по формулам (5.5) и (5.9) предыдущего параграфа. Конечный результат должен записываться также в виде (5.10).

Таблица 2.

Абсолютные и систематические погрешности некоторых косвенных измерений