Метод симметричных составляющих

 

Метод симметричных составляющих базируется на математической теории многофазных электрических систем при неодинаковыхусловиях работы фаз. Сформулируем основные положения метода симметричных со­ставляющих.

1. Любую несимметричную систему токов можно разложить на три симметричные, называемые системами прямой, обратной нулевой последовательностей. Эти системы получили название «симметричные составляющие». Предполагается, что они одновременно циркулируют в рассматриваемой сети в несимметричном режиме.

2. Симметричная система токов прямой последовательности (рисунок 5.1, а) представляет собой три одинаковых по величине вектора, расположенных под углом 120°, вращающихся против часовой стрелки так, что соблюдается нормальное чередование фаз: А - В - С. Соотношения между фазными значениями устанавливаются с помощью оператора

Этот вектор единичной длины имеет аргумент, равный 120°. Если некоторый вектор, например I _А1, умножить на а, то это озна­чает повернуть I _А1 на 120° против часовой стрелки. С помощью вектора а можно выразить токи фаз В и С через ток фазы А: І _B1 = а ² І _A1 І _C1 = аІ _A1

3. Симметричная система токов обратной последовательности (рисунок 5.1, б) представляет собой три одинаковых по величине век­тора, расположенных под углом 120° и вращающихся против ча­совой стрелки так, что соблюдается обратное чередование фаз: А - С - В. При этом токи фаз В и С связаны с током фазы А сле­дующим образом: І _B2 = аІ _A2 І _C2 = а ² І _A2

Рисунок 5.1. Система токов прямой (а), обратной (б) и нулевой (в) последовательностей

 

4. Симметричная система токов нулевой последовательности (рисунок 5.1, в) существенно отличается от прямой и обратной. Она представляет собой систему трех переменных токов, совпадающих по фазе и имеющих одинаковую амплитуду. Эти токи являются, по существу, разветвлением однофазного тока, для которого три про­вода трехфазной цепи составляют один прямой провод, а обратным служит земля или четвертый (нулевой) провод. Появление токов нулевой последовательности в сети означает возникновение в ней несимметричного замыкания на землю. Рассматриваемая несим­метричная система токов допускает только одно разложение на симметричные составляющие. Действительно, представив ток ка­ждой фазы через его симметричные составляющие, получим

I _A ⁼ І _A1 + I _A2 + I _A0,

I _B ⁼ a ² І _A1 + aI _A2 + I _A0,

I _C ⁼ aІ _A1 + a²I _A2 + I _A0,

 

Если I _A ,I _B, I _C заданы, то искомыми являются три величины I _A1 ,I _B2, I _C0. Они определяются тремя линейными уравнениями, ко­торые допускают только одно решение:

Все соотношения для симметричных составляющих токов справедливы и для напряжений. Рассмотрим разложение на составляющие несимметричной системы токов (рис 4.3, а). С помощью геометрических построе­ний, соответствующих выражениям и найдем ток нуле­вой, прямой и обратной последовательностей (рисунок 5.2, б-г). Если сложить симметричные составляющие в соответствии с выраже­ниями, то получим исходную систему.

 

Рис 5.2. Разложение несимметричной системы токов на симметричные сотавляющие

 

5. В трехфазной цепи в месте КЗ наряду с напряжениями пря­мой последовательности возникают напряжения обратной и ну­левой последовательностей. В ветвях схемы вместе с токами прямой последовательности начинают циркулировать токи об­ратной и нулевой последовательностей.

Для иллюстрации этого положения рассмотрим схему электри­ческой системы, показанную на рисунок 5.4. За положительное на­правление токов примем направление слева направо и допустим, что картина распределения имеет вид, показанный на рисунке. То­гда

для участка 1

для участка 2

для участка 3

 

Из этих соотношении видно, что ток нулевой последовательности, определяемый по выражению, циркулирует только на участке 2.

Для участков 1и 2 можно записать следующие соотношения: или

где I ₃ - ток в земле. Отсюда,

В симметричных электрических системах токи и напряже­ния схем отдельных последовательностей могут рассматривать­ся независимо друг от друга и быть связаны между собой законами Ома и Кирхгофа.

Если какой-либо элемент цепи симметричен и при протекании по нему токов I₁, I₂, I₀,обладает некоторыми сопротивлениями Z₁, Z₂, Z₀,симметричные составляющие падении напряжения в этом элементе будут равны ∆Z ₁ = I ₁ Z ₁, ∆Z ₂ = I ₂ Z ₂, ∆Z ₀ = I ₀ Z ₀,

Комплексная форма уравнений справедлива ни только для Стационарного режима, но и для переходного, так как токи и на­пряжения при переходном процессе можно представить проекция­ми вращающихся векторов на соответствующую ось. При этом Дифференциальным уравнениям, связывающим комплексные зна­чения, отвечают операторные уравнения, которые при нулевых начальных условиях по своей структуре аналогичны уравнениям стационарного режима, записанным в комплексной форме. Уравнения второго закона Кирхгофа для любого КЗ каждой по­следовательности могут быть записаны в виде U _K1 = E _Σ - Z _1Σ I _K1, U _K2 = 0 – Z _2Σ I _K2, U _K0 = 0 – Z _0Σ I _K0: где U _K1, U _K2, U _K0, I _K1, I _K2, I _K0- симметричные составляющие Напряжения и тока в месте КЗ; E _Σ - результирующая ЭДС относительно точки КЗ; Z _1Σ, Z _2Σ, Z _0Σ - результирующие сопротивления схем соответствующих последовательностей относительно точки КЗ.

Запись уравнений второго закона Кирхгофа вызывает необхо­димость сформулировать следующее положение метода симмет­ричных составляющих.

Элементы трехфазной сети для токов прямой, обратной и нулевой последовательностей имеют неодинаковые сопротивления. ЭДС генераторов симметричны, т.е. не содержат обратной и нулевой составляющих. Отсюда следует, что: а) в электрических системах существуют только ЭДС прямой последовательности; б) токи обратной и нулевой последовательностей определяются только напряжениями в точке КЗ.

Между системами трех симметричных составляющих все­гда существует связь, задаваемая условиями короткого замыка­ния. Эта связь легко устанавливается путем перевода граничных условий короткого замыкания, заданных через действительные то­ки и напряжения, в условия, заданные через симметричные состав­ляющие.