Распределение Стьюдента

 

Формула (3), по которой оценивается среднеквадратичное отклонение s, является справедливой лишь при . Число измерений в реальных опытах не может быть бесконечно большим, поэтому использовать среднеквадратичное отклонение для ограниченного числа измерений нельзя.

Чтобы получить оценку доверительного интервала для величины а в случае малых n, в теории погрешностей вместо отношения , вводят величину

(5)

Эта величина (коэффициент Стьюдента) является функцией числа измерений n и величины a - доверительной вероятности, которая нам задается или же мы ее выбираем сами.

Оказывается, что случайная величина при малых n распределена не по нормальному закону (1), а по закону, открытому Стьюдентом.

Вид этого закона существенно зависит от выбора n.

Плотность вероятности распределения P (t), соответствующая закону Стьюдента, имеет вид:

, (6)

где — гамма-функции.

На рис.6 приведены кривые распределения Стьюдента для различных значений n.

При распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса. Распределение Стьюдента позволяет оценить величину погрешности результата D X при заданной доверительной вероятности a, или, наоборот, при заданном D X найти величину a. Действительно, если выбрать на оси t (n, a) некоторое значение t ^* (рис.6), то вероятность a определяется заштрихованной площадью, причем величина a будет зависеть не только от t, но и от n. Значение коэффициента Стьюдента t для различных значений n и a, рассчитанные в соответствии с законом Стьюдента, приведены в таблице 2.

Задавая надежность a, равную определенной величине, при данном значении n, по табл.2 можно определить коэффициент t. Тогда, определив предварительно по формуле (3), можно оценить абсолютную погрешность результата (доверительный интервал) D Х по формуле:

(7)

Таблица 2.

	a
n	0,2	0,4	0,6	0,8	0,9	0,95	0,99
	0,33	0,73	1,38	3,1	6,31	12,7	63,7
	0,29	0,62	1,06	1,9	2,92	4,30	9,52
	0,28	0,58	0,98	1,6	2,35	3,18	5,84
	0,27	0,57	0,94	1,5	2,13	2,78	4,60
	0,27	0,56	0,92	1,5	2,02	2,57	4,03
	0,27	0,55	0,90	1,4	1,94	2,45	3,17
	0,26	0,55	0,90	1,4	1,89	2,36	3,50
	0,26	0,54	0,90	1,4	1,86	2,31	3,36
	0,26	0,54	0,86	1,4	1,83	2,26	3,25
	0,26	0,54	0,87	1,3	1,76	2,14	2,98
	0,26	0,53	0,85	1,3	1,73	2,09	2,86
	0,26	0,53	0,85	1,3	1,70	2,05	2,76
	0,26	0,53	0,85	1,3	1,69	2,02	2,71
	0,25	0,53	0,85	1,3	1,67	2,00	2,66
∞	0,25	0,52	0,84	1,3	1,65	1,95	2,59

Истинное значение измеряемой величины а будет находиться в пределах интервала () с вероятностью a, т. е.

(8)

Объективным критерием качества проведенных измерений является относительная погрешность, определяемая отношением абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

(9)