Распределение Гаусса и его основные характеристики

В случае большого числа измерений (), случайный разброс значений измеряемой величины подчиняется закону,
открытому Гауссом. Функция P (X) симметрична относительно а, достигает максимума при Х = а (рис.4).

Кроме параметра а функция P (X) задается еще параметром s, который называется стандартным отклонением.

Величина D = s ² называется дисперсией распределения и имеет смысл среднего значения квадрата отклонения Х от истинного значения а, т.е. , где — средний квадрат отклонения измеряемой величины от истинного значения.

Р (Х) быстро стремится к нулю, когда Х становится большим по сравнению с s.

Функция нормального распределения имеет вид:

(1)

Из рис. 5 видно, что основная часть результатов измерений группируется около центрального значения а – истинного значения измеряемой величины.

 

Отклонения по обе стороны от центра распределения наблюдаются тем реже, чем больше абсолютная величина таких отклонений.

Если изменить метод измерения величины а и измерять ее другим прибором, например, более совершенным, более точным, то разброс результатов измерений будет около центра с прежней абсциссой а, но разброс результатов существенно уменьшится (рис. 5, кривая 1). Если же точность метода измерений ниже, чем для кривой 2, то разброс результатов увеличится и кривая станет более пологой (рис. 5, кривая 3). Трем кривым на рис. 5 соответствуют разные значения стандарта отклонения s, который характеризует размах (разброс) случайных отклонений, присущих данному методу измерения. При этом площадь под кривыми распределения для разных s одна и та же. Параметры а и s в распределении Гаусса, как правило, неизвестны и их нужно искать по данным значениям Х ₁, Х ₂, … Х_n, полученным из опыта. В теории погрешностей существует метод (максимального правдоподобия), который позволяет установить связь между параметрами распределения Гаусса а и s и набором результатов измерений физической величины. Используя этот метод, можно строго математически доказать, что наиболее правдоподобной оценкой истинного значения измеряемой величины является среднее арифметическое из данных измерений, т.е.

(2)

а наилучшей оценкой второго параметра s является средняя квадратичная погрешность среднего .

Расчет осуществляется по формуле:

(3)

Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности (надежности)

 

Среднее арифметическое является приближенной оценкой истинного значения а измеряемой величины. Поэтому, чтобы эта оценка была наиболее полной, надо обязательно указать, какова погрешность полученного результата D X. Величину абсолютного отклонения среднего из n измерений от истинного значения а называют абсолютной погрешностью или доверительным интервалом среднего. Важно не то, что в результате измерений мы получаем , а важно то, что наряду с должен быть указан интервал D X, в пределах которого где-то находится истинное значение а.

Однако мы не может достоверно утверждать, что истинное значение а окажется внутри интервала , мы можем сказать лишь следующее: имеется какая-то вероятность того, что а лежит в пределах этого интервала. Следовательно, доверительный интервал D X необходимо указывать вместе с доверительной вероятностью (надежностью) a попадания истинного значения в пределы этого интервала. Без указания вероятности a сам по себе интервал D Х не может быть принят в качестве оценки погрешности результата.
Если известен вероятностный закон распределения Р (Х), то вероятность попадания истинного значения в пределы этого интервала может быть рассчитана по формуле:

(4)

Расчет показывает, что уже при числе измерений выбор погрешности , дает величину надежности a, равную 0,68. Другими словами, если взять интервал надежности , то можно утверждать, что в 68 случаях из 100 истинная величина а попадет в указанный интервал, а в 32 случаях из 100 – не попадет в этот интервал.

В случае, когда , то a получается равной 0,95. Если , a = 0,997, т.е. за пределы доверительного интервала выйдет всего лишь около 3 измерений из 1000.