Движение в потенциальном поле сил

Потенциальная энергия является функцией координат и может быть определена только в поле консервативных сил так что .

Перемещение . Соответственно изменение потенциальной энергии по каждому направлению

Это можно переписать

После этого записать вектор силы через градиент потенциальной энергии

 

Где векторный оператор набла

связывает вектор силы и потенциальную энергию

.

 

Закон Ньютона примет вид ; . .

 

Пример. . Найти вектор силы.

 

 

 

 

Смысл градиента станет нагляднее и яснее, если ввести понятие эквипотенциальной поверхности - поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия W имеет одно и то же значение. Ясно, что каждому значению W соответствует своя эквипотенциальная поверхность.

Проекция вектора на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор нормален эквипотенциальной поверхности в данной точке. Далее, возьмем перемещение в сторону уменьшения W, тогда D W < 0, и, т.е. вектор силы направлен в сторону уменьшения потенциальной энергии W.

Эквипотенциальные поверхности и направление силы

 

 

Потенциальная яма – область пространства, где присутствует локальный минимум потенциальной энергии частицы.

Если в потенциальную яму попала частица, энергия которой ниже, чем необходимая для преодоления краёв ямы, то возникнут колебания частицы в яме. Амплитуда колебаний будет обусловлена собственной энергией частицы. Частица, находящаяся на дне потенциальной ямы, пребывает в состоянии устойчивого равновесия, то есть при отклонении частицы от точки минимума потенциальной энергии возникает сила, направленная в противоположную отклонению сторону.

 

 

Потенциальный барьер

Для одномерных полей:

Если задан график силы, то потенциальная энергия находится как интеграл от силы со знаком минус

Если задан график потенциальной энергии, то зависимость силы от координаты находится через производную со знаком минус

.

Пример: найти период движения частицы массой m с полной энергией Е ₀ для заданной . Из закона сохранения энергии или .

Выразим время как функцию от энергии и проинтегрируем от 0 до A.

Замена переменной .

это время составляет четвертую часть периода, значит период движения частицы в параболической потенциальной яме

.

 

Кинематика вращательно-поступательного движения

Скорость i -ой точки

Скорость относительно ЦМ

Точка находится на ободе колеса:

; ; ;

С к о р о с т ь т о ч к и к о л е с а