Метод Ньютона. Алгоритм метода Ньютона строится исходя из представления функции F(x) в окрестности некоторой точки x* (предполагаемого корня уравнения)
Алгоритм метода Ньютона строится исходя из представления функции F(x) в окрестности некоторой точки x* (предполагаемого корня уравнения), принадлежащей отрезку [a, b], в следующем виде: F(xk+1) = F(xk) + (xk+1 - xk)* F ¢(xk) (5) Исходя из равенства F(x)=0 и в соответствии с (5) (k+1) -e приближение определяется по правилу:
Метод Ньютона иначе называется методом касательных (рис.2), поскольку для того, чтобы найти (k+1) -e приближение надо через точку xk провести вертикальную прямую до пересечения с кривой F(x), затем провести касательную до пересечения с осью абсцисс (точка x k+1), из точки xk+1 - вновь вертикальную прямую до пересечения с F(x) и т.д.
Рис.2 При программной реализации метода Ньютона приходится многократно вычислять первую производную функции F(x). Чтобы избежать этого, применяют модифицированный метод Ньютона, при котором производная вычисляется один раз в некоторой точке x*, принадлежащей отрезку [a, b]. Алгоритм модифицированного метода Ньютона реализуется при помощи следующего выражения:
В разделе математики "Численные методы" доказывается, что если процесс, реализуемый по выражению (6) на отрезке [a, b] сходится, то и процесс, реализуемый по выражению (7), также сходится.
|
, k=0,1,2,... (6)
, где k = 0, 1, 2,... (7)
