Параметрическая оптимизация

Пример: Расчет оптимальных режимов резания.

1. Переменными будут являться подача инструмента S, число оборотов шпинделя станка(n), время обработки
2. В качестве ограничений возьмем точность обработки, чистоту поверхности (шероховатость), стойкость инструмента, технологические возможности станка (мощность электродвигателя, пределы чисел оборотов и подач)

1. Функция цели:

Методы решения:

· Аналитический метод – решение известными методами. Основным недостатком метода в данной задаче является то, что переменные рассматриваются как непрерывные величины, поэтому возникает проблема округления их до дискретного значения.

· Алгоритмический метод – использует свойства дискретности непрерывных величин. Например, число оборотов n на станке известны их все дискретные значения, поэтому, последовательно подставляя эти известные значения в систему ограничений, получим систему неравенств с одним неизвестным. Найденное значение S подставляем в функцию цели. Таким образом, мы получим ряд значений функций целей. И выбираем максимальное значение, по которому определим оптимальное значение.

· Геометрический метод – решается на плоскости координат S и n. Для упрощения решений систему уравнений необходимо привести к линейной, для этого прологарифмируем:

Теперь решим эту задачу на плоскости lnS, lnn

Прологарифмируем функцию цели:

Функция цели представляет собой плоскость в координатах ln n, ln S, ln F. Пересечение этой плоскости с плоскостью координат lnn, lnS дает прямую линию, которая называется линия уровня. Если функция цели стремится к максимуму, то линия уровня будет перемещаться параллельно сама себе в сторону от начала координат. Если к минимуму, то к началу координат. Точка ОДЗ которую линия уровня коснется последней и будет оптимальной. Для построения лини уровня достаточно ln F прировнять к какому то числу и по точкам построить линию уровня.