З А Д А Н И Я

по молекулярной физике

Составили:

к. ф.-м. н. доцент Замураев В.П., к. ф.-м. н. доцент Калинина А.П.

Замечание. После каждой задачи в скобках указаны номера задач, которые должны быть решены на семинарах перед сдачей данной задачи. В скобках после номера задачи указан номер соответствующего семинара.

Номера задач соответствуют учебно-методическому пособию:

 

1. Замураев В.П., Калинина А.П. Задачи по термодинамике и молекулярной физике. Новосибирск: Изд. НГУ, 2003.

 

 

Задание 1 (молекулярная физика)

 

 

1. Пользуясь табличными значениями и асимптотическим (х >> 1) представлением интеграла erf(x) = 1 – 1/(p^1/2 x) × exp(– x ²), рассчитать:

а) долю частиц, у которых | v_x | ³ v_m;

б) долю частиц, у которых v ³ v_m;

в) долю частиц в атмосфере Земли, скорость которых превосходит вторую космическую v ₂ = 11,2 км/с. T = 300 К, m = 29.

(№ 2.10, 2.12 (2))

2. Пленки некоторых нерастворимых органических кислот и спиртов можно моделировать идеальным двумерным газом. Считая, что такой идеальный газ находится в неравновесном состоянии, в котором все молекулы имеют одинаковые по модулю скорости v и изотропно распределены по направлениям движения в плоскости пленки, найти распределение для проекций скоростей на некоторую ось в плоскости пленки. С его помощью рассчитать давление газа и число ударов молекул о единичный отрезок границы пленки. Концентрация газа n, масса молекулы m.

(№ 2.15, 2.16 (3))

3. В эксперименте с молекулярным пучком ртути получена следующая зависимость числа частиц Δ N, попавших на экран за постоянное время t >> , от скорости (определяемой как v = ω l /α):

v м/с = 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700.

Δ N · 10^-9 = 61 195 415 664 856 915 835 663 417 287 155 70.

Построить график распределения молекул ртути по скоростям в печке. Какова

приблизительно температура паров ртути в печке? В процессе измерений ω; = const,

l = const. Обратите внимание на то, что интервал скоростей молекул, проходящих

через вертушку, не остается постоянным.

(№ 2.18 (3), 2.25 (5))

4. Из сосуда объемом V газ истекает в вакуум через малые отверстия общей площадью S. Как во времени нужно подводить тепло к газу, чтобы его температура оставалась неизменной? Как будет изменяться температура газа в адиабатически изолированном сосуде? Начальная плотность газа n ₀.

(№ 2.18 (3), 3.24, 3.29 (15))

5. Два полых цилиндра с поперечными сечениями S и 2 S и одинаковой высоты h соединены встык и образуют замкнутый сосуд. В его объем закачан идеальный газ при температуре T. Найти относительное изменение давления в нижней части сосуда при его переворачивании, возникающее при учете неравномерности распределения газа по высоте. Оценить его для условий Земли.

(№ 2.38, 2.43 (7))

6. В центрифуге радиуса R, вращающейся с угловой скоростью ω;, находится смесь двух газов с молекулярными весами μ;₁ и μ;₂ и количеством молекул N ₁ и N ₂. Найти отношение плотностей газов у внешней стенки и на оси центрифуги. Сделать оценки для смесей H ₂ ¾ D ₂ и U²³⁵ ¾ U²³⁸; R =10 см, ω = 10⁴ .

(№ 2.44 (8))

7. Рассчитать распределение по скоростям точечных частиц после упругого столкновения с бесконечно тяжелой сферой. До столкновения все частицы имеют одинаковую скорость v.

(№ 3.3, 3.4 (11))

8. Молекулы реального газа взаимодействуют друг с другом по закону u = – а / r ⁶ при r > d, где d – эффективный диаметр молекулы. Найти зависимость сечения соударений s от температуры (поправка Сезерленда), считая соударением соприкосновение частиц.

(№ 3.3, 3.4 (11))

9. Оценить время испарения воды из трубки длиной 10 см, запаянной с одного конца. Температура комнатная. Первоначально вода заполняла трубку наполовину. Относительная влажность воздуха 50 %, давление насыщенных паров 27 мм рт. ст. Длина свободного пробега молекул в системе воздух–пар порядка 10^–5 см. Пар у поверхности воды считать насыщенным, капиллярными явлениями пренебречь.

(№3.8, 3.9 (13))

10. Определить, на какой угол φ; повернется диск, подвешенный на упругой нити, если под ним на расстоянии h = 1 см вращается второй такой же диск с угловой скоростью ω; = 50 с ^{– 1}. Радиус дисков R = 10 см, модуль кручения нити f = 100 дин · см / рад. Между дисками находится аргон (газокинетический диаметр атома 3,6 ). Рассмотреть случаи различных давлений и построить график зависимости угла поворота φ; от давления P.

(№3.21 (14), 3.35 (16))

11. Для измерения теплопроводности газа им заполняется пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами радиуса r ₁ и r ₂. Заполнение производится при невысоком давлении (~ 10 мм рт. ст.), чтобы исключить конвекцию. Внутренний цилиндр нагревается источником тепла с удельной мощностью Q, установившиеся температуры цилиндров t ₁ и t ₂ измеряются. Рассчитать коэффициент теплопроводности и газокинетический диаметр молекулы для азота, если r ₁ = 0,5 см, r ₂ = 2 см, Q = 0,038 вт / см, t ₁ = 93 t ₂ = 0

(№ 3.13, 3.15 (14))

12. В сферическом реакторе радиуса R, заполненном газообразной смесью реагентов, идет химическая реакция. Тепловой эффект реакции в расчете на единичный объем равен Q. Какой поток тепла следует снимать с поверхности реактора, если ее температура поддерживается равной T ₀? Найти распределение температуры в реакторе. Учесть зависимость коэффициента теплопроводности от температуры.

(№ 3.15, 3.16 (14))

 

 

Задание 2 (термодинамика)

 

1. Из сосуда, в котором находится газ при комнатной температуре и под давлением ,большим атмосферного , приоткрыв кран, выпускают газ, пока избыток давления не исчезнет. Затем кран закрывают и, после того как температура в сосуде вновь станет комнатной, измеряют давление в сосуде . Как по этим данным найти показатель адиабаты газа γ;? Тот же вопрос для случая, когда в сосуде вначале был воздух под давлением < . Истечение считать квазистационарным.

(№ 1.8, 1.14 (19))

2. Идеальный газ сжимается под поршнем в цилиндре так, что уходящее в окружающую среду тепло равно изменению внутренней энергии газа. Определить работу, затраченную на сжатие моля газа при изменении объема в два раза. Чему равна теплоемкость в этом процессе? Начальная температура газа T ₀.

(№ 1.14 (19))

3. Один моль H₂O с температурой 25 охлаждается до 0 и замерзает. Все тепло, полученное охлаждающей машиной, работающей с максимальной теоретически допустимой эффективностью, передается другому молю H₂O при 25 в результате чего его температура повышается до 100 Сколько молей H₂O переходит в пар при 100 Теплота испарения при 100 равна 9730 кал / моль. Теплота плавления льда при 0 равна 1438 кал / моль.

(№ 1.29, 1.30 (22))

4. Идея динамического отопления, высказанная В. Томсоном (1852 г.), заключается в следующем. Тепловой двигатель, в топке которого сжигается уголь, приводит в действие холодильную машину. Холодильная машина отнимает теплоту от природного резервуара воды (например, от грунтовой воды) и отдает ее воде в отопительной системе. Одновременно вода в отопительной системе служит холодильником теплового двигателя. Определить теоретическое количество тепла, которое получает отапливаемое помещение от сжигания 1 кг каменного угля. Удельная теплота сгорания угля q = 8000 ккал / кг, температура в котле паровой машины t ₁ = 210 температура воды в отопительной системе t ₂ = 60 а грунтовой воды t ₃ = 15

(№ 1.35 (23))

5. Найти работу, совершаемую произвольным рабочим телом за цикл, состоящий из адиабаты, политропы и изотермы.

(№ 1.43 (24))

6. Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен поршнем пренебрежимо малой массы на две равные части. По одну сторону поршня находится идеальный газ с массой , молекулярным весом μ; и молярными теплоемкостями и _, не зависящими от температуры, а по другую сторону поршня создан высокий вакуум. Начальная температура и давление газа T ₀ и P ₀. Поршень отпускают, и он, свободно двигаясь, дает возможность газу заполнить весь объем цилиндра. После этого, постепенно увеличивая давление на поршень, медленно доводят объем газа до первоначальной величины. Найти изменение внутренней энергии и энтропии газа при таком процессе.

(№ 1.44 (24))

7. Выразить изменение температуры свободно расширяющегося одноатомного газа через начальный и конечный объемы и константы уравнения Ван-дер-Ваальса для газа. Оценить изменение энтропии и энтальпии.

(№ 1.44 (24), 1.62 (29))

8. Серебряная проволока диаметром d = 1 мм адиабатически нагружается при комнатной температуре силой F = 10 Н. Полагая, что удельная теплоемкость c = 234 Дж /(К × кг), плотность r = 10 г / см ³, а температурный коэффициент линейного расширения a = 1,9 ×10^–5 К ^–1, определить изменение температуры проволоки. Коэффициент линейного теплового расширения показывает относительное изменение длины тела при нагревании на температуру ΔT при постоянной нагрузке. Работа по растяжению проволоки определяется выражением: dA^’= Fdl, где dl – бесконечно малое удлинение проволоки.

(№ 1.48 (26), предварительный разбор подхода к решению)

9. Определить точку кипения воды на вершине холма высотой 300 м над уровнем моря. Изменением температуры с высотой пренебречь. Удельная теплота парообразования при нормальных условиях равна 540 кал / г, пар подчиняется уравнению состояния идеального газа.

(№ 2.38 (7), 1.103(29))

10. Теплота плавления льда при 0 и давлении 1 атм равна 80 кал / г, а отношение удельного объема воды к удельному объему льда равно 1:1,091. Давление насыщенного пара и теплоты парообразования при 0 составляет 4,58 мм рт. ст. и 600 кал / г. По приведенным данным оценить температуру тройной точки.

(№ 1.103, 1.106 (29))

11. Капля жидкости находится в равновесии с паром при давлении P ₁, которое из–за поверхностного натяжения в капле больше давления P ₂ насыщенного пара над плоской поверхностью при той же температуре. Найти критический (равновесный) радиус капли в предположении | P ₁ – P ₂| ‹‹ P ₂. Известны T – температура системы, s – коэффициент поверхностного натяжения, m – молярная масса вещества, r – плотность жидкости. Пар считать идеальным газом и пренебречь молярным объемом жидкости по сравнению с молярным объемом пара.

(№ 1.101(28), 1.113 (30), предварительный разбор подхода к решению)

12. Определить, какое количество энергии освобождается при слиянии мелких водяных капель радиусом 2×10^-3 мм в одну большую каплю радиусом 2 мм. Насколько при этом повышается температура воды?

(№ 1.121 (31))