Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Теорема 9.2 Дисперсия числа появлений события A в n не­зависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления со­бытия в одном испытании:

.

Рассмотрим случайную вели­чину X — число появлений события A в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в от­дельных испытаниях: , где - число наступлений события в i -ом испытании.

Величины взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов осталь­ных, поэтому

(*)

Вычислим дисперсию по формуле

D () = M() - (M() (**)

Величина - число появлений события A в первом испытании, поэтому М = р.

Найдем математическое ожидание величины , кото­рая может принимать только два значения, а именно: с вероятностью p и с вероятностью q:

Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем

D () = p — = p(l—p) = pq.

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое пра­вой части (*) через pq, окончательно получим D(X) = npq.