Взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические откло­нения нескольких взаимно независимых случайных вели­чин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

. Обозначим через X сумму рас­сматриваемых взаимно независимых величин:

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых (следствие 1), поэтому

9.5.Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то их числовые харак­теристики одинаковы.

Рассмотрим п взаимно независимых случайных величин , которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :

Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического X и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из
величин:

Пользуясь свойствами матема­тического ожидания (постоянный множитель можно вы­нести за знак математического ожидания; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно а, получим

2. Дисперсия среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величий в п раз меньше дисперсии D каждой из величин:

.

Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых), имеем

Приняв во внимание, что дисперсия каждой из вели­чин по условию равна D, получим

3. Среднее квадратическое отклонение среднего ариф­метического п одинаково распределенных взаимно незави­симых случайных величин в раз меньше среднего квадра-тического отклонения каждой из величин:

Так как среднее квадратическое отклонение равно

Вывод:Поскольку дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины, то среднее арифметическое достаточно большого числа вза­имно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.