Биномиальное распределение. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероят­ность непоявления q = l - p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений со­бытия A в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распреде­ления величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие A в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза,... либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: = 0, =1, = 2,..., = n. Вероятности этих возможных значений вычисляются по формуле Бернулли:

(*)

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «бино­миальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

X	n	n-1	…	k	…
P			…		…

Для биномиального закона M(X) = np, D(X)=npq

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты p = 1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q = 1- 1/2 = 1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: = 2, =1, = 0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

,

,

.

Напишем искомый закон распределения:

X 2 1 О

p 0,25 0,5 0,25 Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25=1.

Примеры графиков функции вероятности биномиального распределения