Краткие теоретические сведения. Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно

Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно. Результат каждого отдельного измерения случайной величины практически непредсказуем. Однако совокупности результатов измерений подчиняются статистическим закономерностям, изучение которых служит одной из основ теории и практики физического и инженерного эксперимента. Существует множество законов распределения случайных величин. Одним из наиболее распространенных является нормальный закон распределения, описываемый функцией Гаусса:

 

, (1)

 

где ρ(t) – плотность нормального распределения случайной величины t, σ – среднеквадратичная ошибка или стандарт.

Закономерность распределения значений изучаемой случайной величины t становится наглядной, если построить гистограмму - ступенчатую диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появляются значения, попадающие в тот или иной из равных интервалов D t, лежащих между наименьшим и наибольшим из наблюдаемых значений величины t.

Гистограмму строят в следующих координатах (рис 1): ось абсцисс – измеряемая величина t; ось ординат – Δ N / N Δ t. Здесь N - полное число измерений, Δ N - число результатов, попавших в интервал [ t, t + Δ t ]. Частное Δ N / N - есть доля результатов, попавших в указанный интервал, и характеризует вероятность попадания в него результата отдельного измерения. Отношение этой величины к ширине интервала Δ N / N Δ t называется "плотностью вероятности".

При очень большом числе измерений () вместо ступенчатой гистограммы получается плавная кривая зависимости

 

. (2)

 

Эту функцию называют плотностью вероятности или законом распределения по t. Чтобы сравнить наблюдаемое распределение с нормальным распределением (1), нужно найти по данным измерений параметры <t>; и σ функции Гаусса (приближенно, поскольку число измерений ограничено). Параметр <t>; есть среднее арифметическое случайной величины

 

. (3)

 

Параметр σ является средним квадратичным отклонением наблюдений от среднего <t>;:

 

. (4)

 

Из анализа формулы (1) следует, что плотность нормального распределения имеет максимум

 

, (5)

 

при значении t = <t>; и симметрична относительно < t>;. Нетрудно сравнить “наибольшую высоту гистограммы” и максимальное значение функции Гаусса (5).

Для количественной проверки того, насколько хорошо полученные результаты соответствуют нормальному распределению, можно воспользоваться соотношением (6)

 

, (6)

 

в котором вероятность Р ₁₂ попадания результата измерения в интервал (t ₁, t ₂) c одной стороны может быть вычислена как интеграл функции Гаусса в этих пределах, а с другой стороны - найдена как относительное число наблюдений N ₁₂, результаты которых попали в этот интервал. При сравнении наблюдаемого распределения с нормальным (1) можно воспользоваться известными значениями вероятности распределения случайной величины для наиболее употребительных в технике измерений пределов:

 

t (<t>; -s; <t>;+s), P _s = 0,68;

 

t (<t>; -2s; <t>;+2s), P _2s = 0,95;

 

t (<t>; -3s; <t>;+3s), P _3s = 0,997.