III.Акустические основы настройки музыкальных инструментов 2 страницаПриведенные выше числовые примеры содержат интересную закономерность: в унисоне соотношение частот основных гармоник 1:1, и биения возникают между первой гармоникой одного звука и первой гармоникой второго звука (1 и 1). Далее, в октаве отношение частот 1:2, и биения возникают между первой гармоникой верхнего звука и второй гармоникой нижнего звука (1 и 2). Продолжая рассуждать таким образом, легко вывести правило, по которому, зная интервальный коэффициент, можно сразу сказать, между какими гармониками, составляющими интервал звуков, образуются биения. Надо только учесть, что большее число в интервальном коэффициенте соответствует номеру гармоники нижнего звука, а меньшее — номеру гармоники верхнего звука интервала. Выпишем коэффициенты основных консонансных интервалов натурального звукоряда гармоник — именно они используются в настройке.
Последовательность расположения интервалов в натуральном звукоряде легко прослеживается, если записать в нотном обозначении гармоники, например, от ноты до большой октавы:
Гармоники ноты
Таким образом, в натуральном звукоряде интервалы располагаются в следующем порядке: унисон, октава, квинта, кварта, большая терция, малая терция, малая терция, большая сёкунда, большая секунда и т. д. Зная последовательность интервалов между гармониками, достаточно просто написать натуральный звукоряд от верхней и нижней ноты выбранного интервала и установить гармоники, образующие в этом интервале унисон. Покажем это на примере квинты (ре1 –ля1) и кварты (ре1 – соль 1):
Из таблицы наглядно видно, что в интервале квинты унисон образуется между второй гармоникой верхнего звука и третьей гармоникой нижнего звука, а в интервале кварты — между третьей гармоникой верхнего звука и четвертой гармоникой нижнего звука (в таблице для квинты — это ля2— ля2, для кварты — ре3— ре3). Тон ля2 называется тоном совпадения звуков ля1 и ре1 аналогично ре3— тон совпадения звуков соль1 и ре1. В других интервалах тоны совпадения устанавливаются таким же способом. Вернемся еще раз к биениям обертонов. Предположим, например, что мы слушаем правильно настроенную темперированную квинту ре1 — ля1 с частотами основных тонов 293,66 и 440,00 Гц соответственно. Предположим для простоты рассуждений, что обертоны кратны основным тонам. Тогда получим следующие два гармонических ряда, Гц:
Нетрудно заметить, что частота биений между второй гармоникой верхнего звука и третьей гармоникой нижнего звука будет равна 880,99 – 880=0,99 или округленно 1 Гц. Но биения дадут также четвертая гармоника верхнего звука с шестой гармоникой нижнего звука. Эти биения, хотя они и более слабые по сравнению с нижними биениями, будут достаточно хорошо слышны и иметь частоту 1761,99 – 1760 = 1, 99 или округленно 2 биения в секунду, то есть в два раза чаще. Если не представлять себе акустические процессы, происходящие при колебаниях струн в настраиваемом интервале, то легко ошибиться и принять за ориентир верхние биения, сводя их частоту к 1 биению в секунду. В итоге квинта будет темперирована неправильно. Верхние более частые биения, в конечном счете, не только не мешают настройке, но и помогают более точно установить зону темперации интервала и величину темперации. Важно только уметь переключать на них внимание. Переключение необходимо на подходе к точной темперации интервала, когда нижние биения из-за их растянутости на фоне общего затухания тонов становятся более трудными для контроля, в то время как верхние биения очень четко слышны и нужно только оставлять их в два раза более частыми, по сравнению с частотой нижних биений. Ориентировке помогает и то обстоятельство, что верхние биения звучат на октаву выше (сравните частоту второй и четвертой гармоники ля1, а также третьей и шестой гармоники ре1 в вышеприведенном примере). Что удивительно, – в популярных брошюрах, пособиях по настройке, авторы которых прекрасно знают настройку, ничего не говорится об этом важном для обучения моменте – «многоголосии биений», с которым неизбежно сталкивается любой начинающий настройщик, который только после многочисленных проб и ошибок, блужданий и неуверенности в овладении темперированием интервалов начинает понимать (но это не всегда бывает) роль и значение верхних биений в настройке квинт и кварт, начинает их использовать. Правило удвоения частоты для верхних биений легко запоминаемо, и если в среднем квинту надо темперировать по 1 биению в секунду, а кварту по 1,4 биения в секунду, то частота верхних биений в среднем будет соответствовать 2 биениям в секунду и 2,8 биений в секунду. Этот момент, кажется, является новым в теории настройки (но не в практике квалифицированных настройщиков, которые, однако, о нем не любят распространяться). Полноправное введение верхних биений квинт и кварт в процесс настройки облегчит и ускорит овладение начинающими настройщиками техникой настройки. Это — прекрасная иллюстрация общеизвестного философского тезиса о том, что нет ничего практичнее хорошей теории. Это нетрудно сделать, взяв за основу прослеженную выше связь числителя и знаменателя интервального коэффициента с номерами гармоник, дающих биения. При этом необходимо знать частоты первых гармоник (основных тонов), рассчитанные выше для равномернотемперированного строя с помощью интервального коэффициента 1,05946309. Общую формулу для подсчета биений выведем на примере квинты. В квинте частота третьей гармоники нижнего звука равна 3fн, где fн — частота основной гармоники нижнего звука, а частота второй гармоники верхнего звука — 2fв, где fв — частота основной гармоники верхнего звука. Отсюда определим частоту биений как разность 2fв – 3fн. fб = mfв – nfн (9)
При таком методе определения необходимого числа биений в интервалах положительное значение разности (знак +) покажет, что данный интервал шире соответствующего чистого интервала, а отрицательное значение (знак –) будет указывать на то, что данный интервал уже чистого. Как можно судить по знакам перед числами биений в темперированных интервалах, приведенных в таблице ниже, три интервала – квинта, малая терция и малая секста – настраиваются суженными, остальные интервалы шире чистых. Число биений в секунду увеличивается с перемещением интервала вверх в области темперирования [областью темперирования считается тот участок звукоряда музыкального инструмента, в котором производится начальный этап настройки - темперирование интервалов] ля – ля1 от 12 до 24 для малой терции (числа биений округлены), от 9 до 18 для большой терции, от 1 до 2 для кварты, от 0,74 до 1,48 для квинты и от 10 до 20 для большой сексты. В середине рассмотренного диапазона округленные значения биений равны: 17 для малой терции, 12 для большой терции, 1,4 для кварты, 1,1 для квинты и 14 для большой сексты. Повышение частоты биений в темперированных интервалах настроенного инструмента при перемещении интервалов вверх является следствием общего математического принципа получения темперированного строя. Отношение частот двух соседних тонов в равномерно-темперированном строе постоянно - это корень двенадцатой степени из 2.
Таблица 3
Разность частот в интервалах растет с перемещением интервалов вверх. Например, если частоты звуков ля есть 27,5; 55; 110; 220; 440 и т. д., то 55 — 27,5=27,5 (октава), 110 — 55=55 (октава), 220— 110= 110 (октава) и т. д. Продолжая рассуждение таким образом, легко убедиться в том, что если мы переносим вверх на октаву темперированный интервал, имеющий, скажем, 1 биение в секунду, то мы повышаем вдвое все частоты, определяющие этот интервал, и таким образом удваиваем и разности между этими частотами. Поэтому, например, кварта си – ми1 имеет 1,12 биений в секунду, а кварта на октаву выше си2 – ми2 — 2,24 биений. Наши рассуждения сводятся к следующему: Следует запомнить также два более простых и конкретных правила при перемещении интервала на октаву вверх: Рассмотрим, какую точность обеспечивают пригодные для настройки интервалы. Возьмем для этого шкалу частот, построенных по соотношениям натурального ряда чисел (началом будет нота до1).
Настройка натуральных интервалов в принципе не отличается от настройки темперированных. Разница лишь в отсутствии в натуральных интервалах биений, но как в том, так и в другом случае контролируются биения между гармониками в области тона совпадения звуков интервала. Поэтому выводы в отношении точности настройки пригодны как для чистых, так и темперированных интервалов. При совершенно точной настройке чистого интервала биений не должно быть. Допустим, тон до1 нужно настроить в малую терцию по тону ми-бемоль1, в большую терцию — по тону ми1, в кварту — по тону фа1, в квинту — по тону соль1, в большую сексту — по тону ля1 и в октаву — по тону до2. Допустим, для чистых интервалов частота тона до1 выбрана 261,62 Гц. Какие появятся биения в этих интервалах, если частоту тона до1 понизить всего на 0,1 Гц, то есть до 261,52 Гц. В соответствии с формулой (9) в перечисленных интервалах возникнут биения следующих частот, Гц:
Мы видим, что наибольшее влияние расстройки нижнего тона интервала на 0,1 Гц сказывается на малой терции и наименьшее — на октаве. Необходимо теперь оценить схепень заметности на слух расстройки того или иного интервала (о точности настройки речь будет впереди), но нам здесь потребуется практически достижимая точность в настройке прим. По данным исследований, известных из литературы [10], вполне допустимая ошибка настройки примы в среднем регистре составляет всего 2—3 цента. В середине области темперирования два цента со-ставляют примерно 0,4 Гц, то есть изменение в приме частоты одного из тонов на 0,4 Гц вызовет изменение биений на ту же величину и будет заметно на слух. Хотя мы рассматриваем настройку не примы, а других интервалов, биения образуются между такими гармониками, интервал между которыми составляет именно приму, и поэтому вполне оправдано использование данной ошибки настройки — 0,4 Гц. Сравним теперь заметную на слух ошибку настройки с величиной биений, возникающих в чистых интервалах при расстройке нижнего тона до1 на 0,1 Гц. Малая частота биений в интервалах октавы и квинты приведет к тому, что данная величина расстройки не контролируется с помощью этих интервалов. Кварта — более чувствительный к данной ошибке интервал, ее биения уже заметны на слух. Но самыми чувствительными в данном примере интервалами оказались малая терция, большая секста и большая терция. Конечно, различная острота слуха у разных настройщиков и тщательность выполнения настройки могут несколько сдвинуть в ту или иную сторону границу разделения интервалов на «чувствительные» и «нечувствительные», но в любом случае остается общая закономерность влияния величины расстройки основного тона на число биений в разных интервалах. Последнее зависит только от физических параметров колебательных процессов, а не от субъективного восприятия их. Подсчитаем теперь точность настройки тона до1 — по различным интервалам при условии, что в любых интервалах слышны изменения биений на 0,4 Гц. Для этого формулу (9) перепишем относительно частоты нижнего звука интервала: fн = (mfв – fб):n (10)
где fн — частота нижнего звука, Подставив числовые значения в формулу (10), получим частоту до1 настроенного по разным интервалам, Гц:
Расположив интервалы в порядке уменьшения относительной погрешности настройки, мы увидим, что наименьшую погрешность дают малая терция, большая секста и большая терция:
Терции и сексты очень чутко реагируют на малейшие отклонения от правильной установки высоты интервалов. Наименьшую точность настройки дают интервалы октавы, квинта и кварта. Поэтому применять интервал октавы при темперации не рекомендуется: чем больше октавных ходов, тем больше ошибок. Влияет ли на точность настройки интервала порядок настройки его звуков: нижний после верхнего или наоборот? Мы только что установили, что чем выше совпадающие гармоники, по биениям которых выполняют настройку, тем точнее она должна быть: самый точный интервал — малая терция — образует приму между четвертой гармоникой верхнего звука и пятой гармоникой нижнего звука, и это обеспечивает наибольшую «чувствительность» интервала. Другими словами, точность настройки обеспечивается гармониками более высоких номеров, которые принадлежат нижнему звуку интервала. В качестве примера возьмем интервал квинты с частотами 220 и 330 Гц и построим от них гармонические ряды:
Сузим интервал до появления 1 биения в секунду, повысив нижний звук либо понизив верхний; в зависимости от этого получим два варианта:
Здесь одно биение, но 330 — 220,33 = 109,67 Гц, или:
В этом случае в квинте также одно биение, однако разница частот первых гармоник несколько другая: 329,5 — 220= 109,5 Гц. Парадокс перестает быть парадоксом, как только мы заметим, что в приведенных выше гармонических рядах интервалы в обоих случаях близки, но не одинаковы по абсолютной высоте основных гармоник: нижний звук имеет в одном случае частоту 220,33 Гц, а во втором — ровно 220; аналогично дело обстоит и со вторым звуком. Мы уже знаем, что разность основных частот звуков, образующих интервал, повышается с передвижением интервала снизу вверх. Это и есть, оказывается, причина появления разницы в частотной ширине интервалов в нашем случае. Выше было доказано, что большую точность настройки можно получить, используя малые и большие терции и большие сексты. Но легко ли работать с такими интервалами и одинаково ли хорошо слышны в них биения? И тут оказывается, что чем больше интервал приемлем для точной настройки теоретически, тем труднее его настраивать. Действительно, интенсивность гармоник, как правило, уменьшается с ростом номера, по крайней мере, в среднем диапазоне большинства музыкальных инструментов, с которого начинается настройка. Со снижением интенсивности гармоник снижается интенсивность и биений, которые необходимо слушать. Следовательно, если ряд интервалов построить по порядку нарастания легкости их настройки, получим ряд, обратный ряду, в котором интервалы следуют по порядку обеспечения ими точности настройки тонов: труднее всего настраивать малыми терциями и легче всего октавами, не считая прим. Получается замкнутый круг: легко настраивать октавами, квинтами и квартами, но точность, получаемая с их помощью, невелика; большую точность обеспечивают большие и малые терции и большие сексты, но начинать с них настройку трудно. Проблема на практике решается просто. С помощью легких для настройки интервалов октав, квинт и кварт делают приближенную, начальную настройку, а окончательную, точную — терциями и сек-стами. К сожалению, в учебной литературе для настройщиков настройка по терциям и секстам зачастую не освещается. Обычно предлагается настраивать только по квинтам, квартам, октавам, а иногда вообще рекомендуется обходиться только квинтами и октавами. На начальном этапе овладения настройкой это может быть в какой-либо мере оправдано, поскольку легче оперировать квинтами, квартами и октавами, но качество настройки при этом оставляет желать много лучшего. Кроме того, при настройке квинтами и квартами очень легко незаметно перейти из зоны сужения интервала в зону расширения. Правда, у интервалов, обеспечивающих высокую точность настройки, есть свой недостаток, заключающийся в трудности контролирования их из-за большого числа биений в единицу времени. Прямой счет здесь невозможен, и приходится запоминать общий характер биений, их тембр. Человеческое ухо воспринимает биения в довольно широком диапазоне — от 0,01 (1 биение за 80— 100 сек.) до 400 в секунду (это, естественно, проверялось не на фортепиано) [6]. В этом диапазоне биения придают интервалам различную степень консонансности. До разницы частот звуков интервала в 4 Гц биения легко прослеживаются и каждое биение воспринимается в отдельности. Установлено, что ухо наиболее чувствительно именно к этому изменению частоты. В области частот от 5 до 20 биений в секунду отдельные биения воспринимаются с трудом, а характер их изменяется незначительно. В области 20 – 60 биений в секунду характер биений резко меняется, звук интервала становится резким, грубым, диссонансным. Наконец, с увеличением числа биений (выше 60) их различать все труднее. Выше 400 биений в секунду они не воспринимаются вообще. Биения, используемые при настройке терций и секст, в области темперирования не превышают 20—24 в секунду. В процессе настройки применяются мелодические и гармонические интервалы, но их роль различна и определяется возможностями установки звуков интервала при их последовательном или параллельном проигрывании. Гармонические интервалы используют при настройке непосредственно по биениям, но при значительном нарушении настройки, то есть после замены струн на инструменте или когда он долго не настраивался, а также при необходимости изменить общую высоту строя и т. д., использовать только гармонические интервалы не рекомендуется. Тут не обойтись без мелодических интервалов.
|
