ЗАДАЧА 4. Плоская задача теории упругости

 

Условие. Упругое тело заданной формы находится в условиях плоской задачи. Схема задачи и нагрузка даны на рис. 4.1 в соответствии с номером варианта.

 

Требуется:

5. Проверить, является ли заданная функция напряжений решением плоской задачи теории упругости.

6. Найти выражения для напряжений.

7. Составить граничные условия и найти постоянные, входящие в выражения для напряжений.

8. Проверить, удовлетворяют ли окончательные выражения для напряжений дифференциальным уравнением равновесия.

9. Построить эпюры напряжений в характерных сечениях.

 

 

Для упругого полубесконечного массива, находящегося в условиях плоской задачи (плоская деформация) под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 4.2) функция напряжений задана в виде

1. Вычисляются производные от функции напряжений:

 

 

Рис. 4.1. Схемы к задаче 4

 

 

 

Рис. 4.1. Схемы к задаче 4 (продолжение)

 

 

 

Рис. 4.1. Схемы к задаче 4 (окончание)

 

Рис. 4.2.

Бигармоническое уравнение записывается в развернутом виде с учетом полученных выражений для вторых производных:

Подстановка полученных соотношений в бигармоническое уравнение обращает его в тождество

Следовательно, заданная функция напряжений является решением плоской задачи.

 

2. Записываются выражения для напряжений. С учетом отсутствия объемных сил

окончательно

.

 

3. Из граничных условий определяются постоянные A, B, C, D.

 

а) Горизонтальная грань. Геометрическое уравнение грани . Для этой грани направляющие косинусы

проекции нагрузки на координатные оси (рис 4.3). Статические граничные условия

после подстановки формул для напряжений с учетом уравнения грани принимают вид:

(1)

(2)

 

б) Наклонная грань. Геометрическое уравнение грани Направляющие косинусы

нагрузки Аналогично горизонтальной грани записываются два уравнения:

(3)

 

(4)

 

Совместное решение четырех уравнений дает выражения для постоянных

Выражения для напряжений после подстановки постоянных принимают окончательный вид:

 

4. Для проверки полученные выражения для напряжений подставляются в дифференциальные уравнения равновесия

В рассматриваемом примере проекции объемных сил на координатные оси , производные

Подстановка производных показывает, что дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются тождественно.

 

5. Характерным сечением в данной задаче является горизонтальное сечение (рис. 4.3). После подстановки этого значения в формулы для напряжений получаются соотношения для построения эпюр:

 

При этом из схемы задачи следует, что .

Для построения эпюр напряжений необходимо задаваться числовыми значениями величины На рис. 4.3 показаны эпюры напряжений, построенные при по точкам При этом в формулы угол нужно подставлять в радианах. Для более точного выявления очертания эпюр необходимо брать точки чаще.

 

При , , , ;

, , , ;

, , , ;

, , , .

 

 

Рис. 4.3. Плоская задача теории упругости

Выполним проверку статических граничных условий на грани . Для этого рассмотрим дифференциально малый элемент тела, находящийся на поверхности в сечении (рис. 4.4).

 

Рис. 4.4

 

Проекции сил, действующих на гранях материальной точки, на координатные оси

, ,

следовательно материальная точка находится в равновесии и эпюры напряжений построены верно.