Материальная импликация

Базисом основных излагаемых далее логических систем является классическая логика. Она проста, во многих случаях она способна успешно играть роль общей теории дедукции. Во многих, но не во всех.

Классическая логика ориентировалась главным образом на анализ математических рассуждений. С этим связаны многие ее особенности, нередко расценивающиеся теперь как ее недостатки.

Формальным аналогом условного высказывания в классической логике служит материальная импликация, известная еще с античности и уже тогда вызывавшая споры. Эта импликация определяется в терминах истины и лжи и является ложной только в случае, когда ее антецедент истинен, а консеквент ложен. Материальная импликация истинна, в частности, когда соединяемые ею высказывания оба являются ложными или антецедент ложен, а консеквент истинен.

– 48 –

В обычном условном высказывании его части связаны между собою по содержанию. Материальная импликация не предполагает содержательной, смысловой связи соединяемых ею высказываний. Если даже они не имеют ничего общего друг с другом, составленная из них импликация может быть истинной («Если у собаки есть хвост, то у тритона четыре ноги»).

Условные высказывания играют важную роль и в повседневных, и в научных рассуждениях. Эти высказывания выполняют, как уже говорилось, разные задачи, но типичная их функция, особенно в науке, – обоснование одних утверждений ссылкой на другие. Эти функция плохо реализуется материальной импликацией. Об этом прямо говорят парадоксы последней, активно обсуждаемые почти с начала XX века.

Согласно парадоксу истинного высказывания, такое высказывание может быть обосновано с помощью любого высказывания. Эту возможность предоставляет закон утверждения консквента, говорящий, что истинное высказывание имплицируется любым высказыванием. Например, приемлемым должно считаться такое «обоснование»: «Если Наполеон не был сапожником, то «Начала» Евклида написаны не им». Вряд ли, однако, разумно говорить, что, поставив перед истинным высказыванием произвольное высказывание, мы тем самым обосновали исходное высказывание.

Если установлено, что какое-то высказывание истинно, то в определенных пределах действительно безразлично, путем вывода из каких иных положений оно может быть получено. Однако, полное безразличие к способу обоснования истинного высказывания, допускаемое классической логикой, не согласуется с представлением о научной теории. Она является не механическим набором истинных высказываний, а системой, в которой утверждения находятся в известных отношениях друг с другом и могут обосновываться путем ссылки на вполне определенные иные утверждения. Едва ли имеет смысл, скажем, заключение, что общая теория относительности обосновывается ссылкой на то, что действие равняется противодействию, а множество арифметических истин – ссылкой на реакции, идущие в недрах Солнца.

Согласно парадоксу ложного высказывания, с помощью такого высказывания можно обосновать все, что угодно. Эту возможность предоставляет закон Дунса Скота, утверждающий, что ложное высказывание имплицирует любое высказывание. Например, допустимым считается «обоснование»: «Если медь не электропроводна, то электрон делим до бесконечности».

– 49 –

Данный парадокс выражает в своеобразной форме предостережение против принятия ложного высказывания. Он говорит, что введение в систему утверждений такого высказывания ведет к разрушительным последствиям: в ней становится возможным обосновать все, что угодно, и она теряет всякий смысл. Это предостережение является, несомненно, важным. Но не очевидно, что оно должно включаться в класс правил логического следования, обоснованность которых зависит только от структуры входящих в них высказываний, но не от того, истинны последние или ложны.

Классическая логика с ее материальной импликацией не может быть признана удачным описанием условной связи, а значит и логического следования.

В дальнейшем материальная импликация будет представляться, как обычно, символом ⊃. Соглашения о сокращении скобок являются обычными.