Строгая импликация и релевантная импликация

К.И.Льюис предложил взамен классической логики новую теорию логического следования, в которой материальная импликация замещалась другим аналогом условного высказывания – строгой импликацией.

Интересно отметить, что на первую статью Льюиса о необходимости введения, наряду с материальной импликацией, еще одного, уже не парадоксального понятия импликации, Б.Рассел откликнулся замечанием, что Льюис плохо знает логику: материальная импликация вполне успешно справляется со своей ролью представления в формализованном языке логики условной связи.

Строгая импликация, при всех ее преимуществах перед материальной импликацией, тоже не лишена собственных парадоксов. В их числе – аналог парадокса истинного высказывания: логически истинное (необходимое) высказывание вытекает из любого высказывания, и аналог парадокса ложного высказывания: из логически ложного (невозможного) высказывания вытекает какое угодно высказывание.

Теория строгой импликации Льюиса слагается из ряда различающихся по своей силе систем.

Система S4 может быть получена путем присоединения к аксиомам и правилам классического пропозиционального исчисления аксиом (Lp означает «логически необходимо высказывание р»):

– 50 –

Lp ⊃ p,

L(p ⊃q) ⊃Lp ⊃LLp

и правила необходимости:

«если доказана формула А, то доказана формула LA».

Система S5 получается присоединением к классическому пропозициональному исчислению правила необходимости и аксиом:

Lp ⊃ p,

L(p ⊃q) ⊃ (~ Lq ⊃L ~ Lp).

В качестве единственных модальных аксиом систем S4 и S5 могут быть приняты соответственно формулы:

L (p ⊃q) ⊃ (Lp & р ⊃Lq),

L (p ⊃q) ⊃ ((~ Lq ⊃L ~ Lp) & (Lp ⊃q))[1].

Хорошо исследованная и имеющая достаточно твердые основания теория строгой импликации используется в дальнейшем для обоснования ряда новых логических систем. С этой целью в нее вводятся пропозициональная константа, интерпретируемая по-разному в разных областях. Так, при определении причинной связи в терминах строгой импликации и константы, последняя понимается как представляющая множество законов природы; при определении добра она истолковывается как представляющая какой-то оценочный кодекс и т.п.

Теория строгой импликации используется также для определения так называемой коннексивной импликации и для редукции традиционной логики к логике высказываний.

Релевантная логика, предложенная А.Р.Андерсеном и Н.Д.Белнапом в конце 50-х гг. (в качестве модификации систем А.Чёрча и В.Аккермана), дает более удовлетворительное, чем теория строгой импликации, описание условной связи и логического следования. В этой логике исключаются как парадоксы материальной импликации, так и парадоксы строгой импликации.

Аналогом условного высказывания в релевантной логике является релевантная импликация, учитывающая содержательную связь, существующую между антецедентом и консеквентом такого высказывания. Выражение «р релевантно имплицирует q» означает, что q содержится ври информация, представляемая q, является частью

– 51 –

информации р. В частности, р не может релевантно имплицировать q, если в q не входит хотя бы одно из тех утверждений, из которых слагается р.

В релевантной логике (система R) не имеет места принцип, позволяющий выводить из противоречия какое угодно высказывание. Эта логика является, таким образом, одной из паранепротиворечивыхлогик, не отождествляющих противоречивость опирающихся на них теорий с их тривиальностью, т.е. доказуемостью в них любого высказывания.

Релевантная логика используется в дальнейшем при построении парафальсифицирующей логики, не позволяющей отбрасывать высказывания, хотя бы одно следствие которых ложно. Релевантная логика может использоваться также вместо теории строгой импликации при обосновании вводимых далее новых систем. Вопрос о возможности сведения традиционной логики к релевантной пропозициональной логике остается открытым.

Система R удовлетворяет ряду условий, которым, как принято считать, должна удовлетворять теория логического следования. Вот некоторые из этих условий ((ￂ – знак выводимости):

1) из формул вида (А → В) выводятся формулы вида (~ A v В) (эквивалент материальной импликации A ⊃ В), но не наоборот;

2) не являются доказуемыми характерные парадоксальные формулы классической логики или теории строгой импликации: А → (В → А), ~ А → (А → В), А & ~ А → В, А → В v ~ В, LA → (В → A), L ~ А → (А → В) (LA означает «необходимо высказывание А»);

3) не должна быть доказуемой формула со знаком импликации в консеквенте, если этот знак не входит в антецедент;

4) не должна быть доказуемой формула, антецедент и консеквент который не имеют ни одной общей пропозициональной переменной; теории следования, удовлетворяющие этому требованию, именуемому «принципом релевантности», называются релевантными;

5) если А → В теорема и В – не теорема, то и А – не теорема;

6) если исходное правило вывода позволяет переходить от А₁,..., А_n к В, то должна быть теоремой формула А₁,&... &А_n _ В.

К данным условиям нередко добавляется еще ряд дополнительных условий. Иногда эти условия считаются относящимися не к логическому следованию, а к необходимой (в смысле льюисовской системы S4) условной связи.

Круг тех условий, которые должна удовлетворять теория логического следования, не является достаточно определенным. Нельзя исчерпать перечень свойств, которыми должно и тем более не должно

– 52 –

обладать отношение логического следования в строгом (релевантном) смысле слова, отмечает Е.К.Войшвилло. Основным требованием к удовлетворительной теории следования должно быть наличие явного и интуитивно ясного определения этого отношения. Не имея такого определения, нельзя решить вопроса о том, какой из формальных систем, предлагаемых как теории релевантного следования, должно быть отдано предпочтение и насколько полной является формализация этого отношения в ней.

Можно отметить, что указанные условия удается частично определить путем истолкования условной связи как сравнительного модального понятия, аналогичного по своим формальным свойствам таким сравнительным модальностям, как «лучше», «раньше», «вероятнее» и т.п.