Три новых логики сравнительных оценок

Хотя логика абсолютных оценок возникла на двадцать лет позднее логики сравнительных оценок, первая добилась заметно больших успехов, чем вторая.

Логика предпочтений представляет пока множество конкурирующих между собою систем. Отношения между этими системами не особенно ясны. Не является ясным и то отношение «лучше» («предпочитается»), которое описывается разными системами.

Сложность построения логики предпочтений связана, судя по всему, с тем, что существует несколько различающихся по своему смыслу понятий «лучше»,

В частности, для некоторых типов предпочтения справедлив принцип транзитивности. Для других разновидностей предпочтения этот принцип не выполняется и отношение предпочтения оказывается нетранзитивным.

– 60 –

В описанных системах логики сравнительных оценок явно смешиваются разные смыслы «лучше».

Ситуация в логике сравнительных оценок напоминает положение, сложившееся в настоящее время в теории логического следования. Существует несколько типов отношения логического следования, существенно различающихся своими логическими свойствами. Попытка описать это отношение в рамках одной логической системы обречена на неуспех.

В частности, обычно логическое следование является транзитивным: если р, то q, и если q, то r, то если р. то r. Однако имеются, как кажется, случаи, когда принятие транзитивности логического следования ведет к неприемлемым заключениям.

Возьмем рассуждение: «Если человек – отец, то он родитель; если человек – родитель, то он – отец или мать: следовательно, если человек – отец, то он отец или мать». В этом умозаключении посылки приемлемы, но заключение звучит парадоксально. Оно имеет форму «Если р, то р или q» и напоминает известный парадокс деонтической логики: «Если письмо должно быть отправлено, то оно должно быть отправлено или должно быть сожжено»

Проведение ясных границ между разными типами предпочтения остается делом будущего.

Опишем коротко три логики предпочтения, Р1-РЗ, призванных продемонстрировать разные типы предпочтения. Первый тип назовем «строгим предпочтением», второй – «промежуточным предпочтением» и третий – «слабым предпочтением».

Выражение pUq означает «р строго предпочитается q»; pWq – «р предпочитается q»; pYq – «р слабо предпочитается q»; (ￂ А – «доказуемо А».

Аксиомы и правила вывода системы строго предпочтения Р1:

АО. Множество тавтологий классической логики высказываний

Al. ~ (pUp)

А2. pUq & qUr ⊃ pUr

A3. pUq ≡ (p& ~ q) U (q & ~ p)

А4. (р v q) U (r v s) ⊃ pUr v pUs v qUr v qUs

(Rl) правило подстановки;

(R2) правило отделения;

(R3) если ￂ А и ￂ С ≡ Д,то ￂ В, где В получается из А заменой всех вхождений С в А вхождениями Д в А (ослабленное правило экстенсиональности).

– 61 –

Аксиомы и правила вывода системы промежуточного предпочтения Р2:

АО. Множество тавтологий классической логики высказываний

A1. pWq ≡ (p &~ q) Wq

A2. pWq & qWr ⊃ pWr

A3. ~ (pQ (q &~ q))

А4. ~ ((р & ~ р) Wq)

А5. (р v q) W (r v s) ≡ pWr v pWs v qWr v qWs

A6. (p & q) Wr ⊃ pWr & qWr

(Rl) правило подстановки;

(R2) правило отделения;

(R3) ослабленное правило экстенсиональности.

Аксиомы и правила вывода системы слабого предпочтения РЗ:

АО. Множество тавтологий классической логики высказываний

Al. ~ (pYp)

А2. ~ (pY (q & ~ q»

A3. ~ ((p &~ p)Yq)

A4. (p v q) Y (r v s) ≡ pYr v pYs v qYr v qYs

A5. (p & q) Y (r & s) ⊃ pYr & pYs & qYr & qYs

(Rl) правило подстановки;

(R2) правило отделения;

(R3) правило экстенсиональности.

Выражение pUq означает, что состояние р во всех аспектах предпочитается состоянию q; pYq означает, что состояние р в каких-то аспектах лучше состояния q.

Строгое и промежуточное предпочтение являются транзитивными. Слабое предпочтение нетранзитивно.

Проблема транзитивности предпочтений решается, таким образом, выделением разных типов предпочтения. Некоторые из них являются транзитивными, другие – нет.

Положение «Выбор является рациональным, только если он дает лучшую из имеющихся альтернатив» остается верным лишь при условии, что выражение «первое лучше второго» означает «первое слабо предпочитается второму».

– 62 –