Студопедия — П1 Ортогональные разложения функций
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

П1 Ортогональные разложения функций






Широко известно использование аппарата Фурье для гармонического анализа детерминированных сигналов, при котором исходная функция разлагается в ряд по элементарным тригонометрическим функциям. Однако аппарат Фурье не является е Можно заданную в интервале времени 0-Т функцию ¦(t) разлагать в ряд по любым другим функциям jk(t), принятым в качестве элементарных:

(1)

Сходимость этого ряда всегда обеспечивается. Задача разложения всегда сводится к выбору функций jk(t) и определению коэффициентов разложения Ck.

Коэффициенты Ck наиболее легко определяются, если функции jk(t) обладают свойством ортогональности. Функции называют ортогональными, если для них выполняется условие:

(2)

Умножая левую и правую части уравнения (1) на jk(t) и интегрируя на интервале 0-Т, с учетом ортогональности получим

(3)

Второе условие, которым необходимо руководствоваться при выборе функций разложения, заключается в упрощении анализа при теоретических исследованиях.

Для точного воспроизведения функции при динственным.

представлении ее в виде ряда необходимо суммировать в общем случае бесконечное число членов. В некоторых случаях допустимо представление функций с некоторой погрешностью. При этом в разложении (1) можно ограничиться конечным числом членов:

(4)

Погрешность представления функции удобно оценивать величиной среднеквадратичной ошибки

(5)

При выборе функций разложения в этом случае необходимо руководствоваться условием обеспечения минимума ошибки при заданном числе членов ряда. При N®¥ величина среднеквадратичной ошибки стремится к нулю, так как

(6)

Последнее выражение аналогично равенству Парсеваля, используемому в аппарате Фурье.

Таким образом, всякую функцию можно с некоторой погрешностью представить в виде ряда с конечным числом членов. Представление непрерывного колебания в виде набора конечного числа функций или чисел называют иногда дискретизацией.

Возможность представления функции в виде конечного ряда позволяет осуществлять следующий способ передачи некоторого сигнала S(t). На передающем конце сигнала S(t) можно разложить в ряд по выбранным функциям jk(t) и передавать не сигнал, а лишь коэффициенты разложения Ck. На приемном конце, имея генераторы функций jk(t) по принятым коэффициентам можно восстановить переданный сигнал. Следовательно, с этой точки зрения в качестве функций разложения необходимо выбирать такие, которые легко генерировать.

Ниже рассматриваются два вида ортогональных разложений: разложение Фурье по гармоническим функциям и разложение Котельникова по функциям отсчетов.

 







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 398. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Демографияда "Демографиялық жарылыс" дегеніміз не? Демография (грекше демос — халық) — халықтың құрылымын...

Субъективные признаки контрабанды огнестрельного оружия или его основных частей   Переходя к рассмотрению субъективной стороны контрабанды, остановимся на теоретическом понятии субъективной стороны состава преступления...

ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия