Глава 7. Теория ожидаемой полезности

В 1713 году швейцарский профессор Николас Бернулли сформулировал интересный вопрос. Выражаясь современным языком, Бернулли интересовало, сколько денег рассчитывают люди истратить в игре со следующими правилами: 1) монетку подкидывают, пока она не выпадет решкой, 2) игрок платит два доллара, если после первого подбрасывания монетка выпала решкой, 4 доллара — если решка впервые выпала при втором подбрасывании, 8 долларов — если решка впервые появилась при третьем подбрасывании, 16 долларов — если решка впервые выпала только в четвертом подбрасывании, и т.д. (Анкета содержит описание этой игры в п. 30, так что можете взглянуть на свой ответ.) Большинство людей рассчитывают заплатить лишь несколько долларов.

С тех пор как Бернулли впервые поставил эту проблему, она была названа «Санкт- Петербургским парадоксом». Парадокс потому, что ожидаемая ценность игры (или количество денег, которые вам придется заплатить до первого выпадения решки) огромна и очень немногие готовы заплатить крупную сумму денег за участие в ней. Чтобы проверить, действительно ли возможная плата бесконечно велика, мы можем подсчитать ожидаемую ценность игры Бернулли, умножив плату за каждый возможный исход игры на шансы этого исхода*. Шансы выпадения монетки решкой после первого подбрасывания (которое приведет к уплате 2 долларов) равны 1/2; шансы, что после одного выпадения орла выпадет решка (плата 4 доллара) равны 1/4; шансы, что решка последует за двумя орлами (плата 8 долларов)

* В этом разделе книги больше математики и теории, чем в других ее частях. Разумеется, некоторые читатели могут счесть этот материал более сложным, чем темы, обсуждавшиеся в предыдущих разделах. Если вы не знакомы с терминологией, не расстраивайтесь: основные пункты будут понятны вам без всякого знания математики, а в последующих разделах ее вообще очень-очень мало.

равны 1/8; короче, ожидаемая ценность (ОЦ) составит (где К - количество подбрасываний):

ОЩза игру) = (V2)($2) + (V4)($4) + (V8)($8) +... + (7

= $1 + $1 + $1 + $1 +... + $1 = бесконечная сумма денег

Вопрос состоит в том, почему люди не собираются платить больше, чем несколько долларов, чтобы сыграть в игру с вероятным крупным выигрышем.

Спустя 25 лет, как Николас Бернулли поставил эту проблему, его младший кузен математик Дэниел Бернулли пришел к решению, которое включало в себя два первых положения современной ему теории принятия решений. Дэниел Бернулли (1738; 1954) обосновал это тем, что общая стоимость или «выгода» игры (в деньгах) расходится с итоговым выигрышем (или с уже имеющейся у игрока суммой). Например, он писал (с. 24): «Сумма в тысячу дукатов более существенна для бедняка, чем для богача, но оба получат одно и то же». Бернулли говорил, что количество денег может быть представлено следующим образом:

я

QQ

Богатство

Учитывая, что количество добавляющихся денег расходится с богатством, Бернулли смог показать, что в конечном счете выгода от Санкт-Петербургской игры не бесконечна. (109:()