Теорема
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается. Док-во: I. BC проходит через O. (О – центр окружности) 1) BO=AO (радиусы) – > угол ABO равен углу BAO. 2) Дуга AC равна углу AOC. 3) Угол AOC равен сумме углов ABO и BAO, а значит, равен двум углам ABC – > угол ABC равен половине дуги AC, ч.т.д. II. Центр окружности лежит между сторонами угла. 1) Дополнительное построение: луч BO, проходящий через некоторую точку D на окружности, тогда угол ABC равен сумме углов ABD и CBD. 2) Угол ABD равен половине дуги AD; угол CBD равен половине дуги CD. 3) Угол ABC=угол ABD+угол CBD= дуга AD/2 + дуга CD/2 = дуга AС/2, ч.т.д. III. Центр окружности лежит вне угла. 1) Дополнительное построение, аналогично тому, что было во II случае. 2) Угол ABC=угол ABD-угол CBD= дуга AD/2 - дуга CD/2 = дуга AС/2, ч.т.д.
1) Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, в частности, опирающиеся на одну и ту же дугу. 2) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, – прямой.
|
Следствие:
