Понятие о прогнозировании и регрессионном анализе

Прогноз - это научно обоснованная модель будущего состояния некоторого объекта или явления, включающая альтернативные пути и сроки достижения этого состояния. Прогнозирование, т. е. разработка прогноза, - специальное научное исследование перспектив развития какого-либо процесса.

Прогнозирование необходимо в ситуациях, связанных с технологическими, экономическими, социальными, политическими, экологическими и другими рисками. С точки зрения экономической теории прогнозирование - это расчет неизвестного экономического показателя по заданным факторам.

Современное прогнозирование базируется на применении математико-статистических методов обработки объективных исходных данных.

Исходные данные, получаемые в результате сбора информации, часто представлены в виде дискретной (точечной) зависимости переменной Y от одной или нескольких независимых переменных X ₁, X ₂, …, X_n, причем число точек такой зависимости ограничено. В ходе исследования возникают следующие задачи, достаточно тесно связанные между собой:

1) нахождение промежуточных значений некоторой величины по имеющемуся набору известных значений - интерполяция, т. е. приближѐнное определение значений функции f (x) в точках, лежащих внутри отрезка [ x ₀, x_n ] по еѐ значениям в точках x ₀ < x ₁ <... < x_n;

2) нахождение значений некоторой величины вне заданного интервала - экстраполяция, т. е. приближѐнное определение значений функции f (x) в точках, лежащих вне отрезка [ x ₀, x_n ], по еѐ значениям в точках x ₀ < x ₁ <... < x_n;

3) замена исходной зависимости достаточно простой и легко вычисляемой функцией - аппроксимация, позволяющая исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более удобных объектов с известными или легко вычисляемыми характеристиками.

На настоящий момент основным статистическим аппаратом прогнозирования является многомерный регрессионный анализ, позволяющий:

1) оценить степень связи между переменными;

2) предсказать значения зависимой переменной с помощью независимых;

3) определить вклад отдельных независимых переменных в вариацию зависимой величины.

Регрессия. Регрессионную зависимость можно определить следующим образом. Пусть Y, X ₁, X₂, …, X_n - случайные величины с заданным совместным распределением вероятностей. Если для каждого набора значений

X ₁ = x ₁, X₂ = x₂, …, X_n = x_n определено условное математическое ожидание

y(x₁,x₂,..., x_n) = E(Y\X₁ = x ₁ ,X₂ = x₂,..., X_n =x_n) (1)

то функция называется регрессией величины Y по величинам X ₁, X₂, …, X_n, а еѐ график - линией регрессии, уравнением регрессии, линией тренда и т. п.

На практике линия регрессии чаще всего ищется в виде линейной функции Y = m₁X₁+m₂X₂+...+ m_n X_n+b (линейная регрессия, линейный тренд), наилучшим образом приближающей искомую кривую. Это делается с помощью метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых значений величины Y от их оценок Y с помощью прямой линии.