Теплоты

а) Мгновенный нормально-круговой источник на поверхности пластины. Рассмотрим характер распределения температур в пластине после введения теплоты мгновенным источником, который действовал время dt. Мгновенно на площадку dF источником вводится теплота (рис. 29):

.

Если принять, что температура по толщине пластины d быстро выравнивается, то мгновенное повышение температуры элемента объема dF×d составляет:

. (73)

Из формулы (73) следует, что при действии мгновенного нормально-кругового источника температура распределяется по нормальному закону.

Рис. 29. Схема нагрева пластины поверхностным нормально-круговым источни- ком теплоты

Как указывалось в § 1, гл. 5, подобное распределение температур наблюдается и при действии мгновенного линейного источника теплоты. Очевидно, можно подобрать такой линейный источник Q ₁, который бы спустя время t ₀ от начала своего действия привел бы к такому же распределению температур, какое вызывает нагрев мгновенным нормально-круговым источникам. Таким образом, мгновенный нормально-круговой источник можно заменить фиктивным мгновенным линейным источником. Определим параметры этого фиктивного источника:

.

Указанное равенство выполняется при следующих условиях:

1) - постоянная времени нормально-кругового источника.

2) .

Учитывая, что и , получаем: .

Таким образом, фиктивный линейный источник имеет такую же мощность, что и нормально-круговой, и вводится на время t ₀ раньше действительного номально-кругового источника.

Процесс выравнивания температуры (t>;0) от действия мгновенного нормально-кругового источника определяется уравнением:

.

В момент приложения этого источника (t =0):

.

С учетом теплоотдачи в течение времени t температура в пластине определяется по формуле:

.

б ) Мгновенный нормально-круговой источник на поверхности полубесконечного тела. Нагрев полубесконечного тела мгновенным нормально-круговым источником рассматривается по аналогии с предыдущим случаем (§1-а) как процесс распространения теплоты от мгновенного точечного источника по поверхности полубесконечного тела. При этом принимается, что в течение времени t ₀ теплота распространяется только по поверхности тела, а затем (t>t ₀ ) начинает распространяться вглубь тела. В этом случае температурное поле определяется уравнением:

.