Лабораторна робота № 5. Мета роботи — оволодіння прийомом програмування для знаходження найбільшого та найменшого значення функції з використанням оператора-функції

Для багатьох функцій областю визначення буде не вся числова вісь, а тільки її частина. Так, для функції обла­стю визначення є напіввідкритий інтервал ; для функції область визначення складається з двох інтервалів: та .

Основні елементарні функції мають наступні області визначення:

• степенева функція у=хⁿ з раціональним додатнім показником при непарному визначена на всій числовій осі , а при парному визначена в інтервалі ;
• показникова функція у=а^x, а>0 визначена на всій числовій осі;
• логарифмічна функція у=log_ax,a>0 визначена в інтервалі
• тригонометричні функції y=sin x, y=cos x визначені на всій чи­словій осі;
• у=tg x, y=sec x визначені на всій числовій осі, окрім точок хk = (2k+1) ¤ 2, k=0, +1, +2, …;
• у=ctg x, y=cosec x визначені на всій числовій осі, окрім точок хk = k ;
• обернені тригонометричні функції y=arcsin x, y=arccos x визначені на відрізку ;
• у=arctg x, y=arcctg x визначені на всій число­вій осі.

При знаходженні області визначення елементарної функції, заданої формулою Y=f(x), треба звертати увагу на такі елементи формули:

• на радикали парної степені — функція буде визначена тільки для тих значень х, при яких їх підкорінні вирази будуть невід’ємні;
• на знаменники дробових виразів – функція буде визначена тільки для тих значень х, при яких знаменники відмінні від нуля;
• на трансцендентні функції log x, tg x, ctg x, sec x, cosec x, arcsin x, arccos x, які визначені не всюди, а тільки при вказаних раніше значеннях свого аргументу x.
• якщо ці перечисленні елементи відсутні в формулі y=f(x), то областю визначення функції у буде вся числова вісь (за виключенням тих випадків, коли область визначення функції обмежується спеціаль­ними умовами задачі).

Максимум та мінімум (екстремум) функції

Значення функції f(x) в точці х₀ називається максимумом (мінімумом), якщо воно є найбільшим (найменшим) у порівнянні з її значеннями в усіх достатньо близьких точках зліва та справа від х₀.

Функція може мати екстремум (максимум чи мінімум) тільки в тих точках, які лежать в області визначення функції і де її похідна дорівнює нулю або не існує. Такі точки називаються критичними.

У відповідних точках графіка функції дотична паралельна до осі Ох (у¢ = 0), або осі ординат (у¢ = ¥).

На графіку функції (рис. 5.1) добре видно, що точками екстремуму є всі точки, де функція змінює свою поведінку та неперервна.

Точки х1 и х4, при переході через які аргумента х зростання функції змінюється на спадання, є точками максимуму, а точки х3 и х6, при переході через які аргумента х спадання змінюється на зростання, є точками мінімуму.

Так як поведінка функції характеризується знаком її похідної, то функція буде мати екстремум в тих точках, де її похідна змінює знак, а сама функція неперервна.

Звідси витікає наступне правило дослідження функції на екстремум

Щоб знайти точки екстремуму функції у=f(x),в яких вона неперервна, треба:

І. Знайти похідну у ' та критичні точки, в яких у=0 або не існує, а сама функція неперервна, і які лежать в області визначення функції.

ІІа. Визначити знак у ' зліва та справа від кожної критичної точки.

Якщо при переході аргументу х через критичну точку х₀:

· у ' змінює знак з + на –, то х₀ є точкою максимуму;

· у ' змінює знак з – на +, то х₀ є точкою мінімуму;

· y ' не змінює знака, то в точці х₀ нема екстремуму.

Іноді легше досліджувати критичні точки, де у ' =0, по знаку другої похідної, — замість правила IIа можна використовувати наступне правило:

IIб. Знайти другу похідну у '' і визначити її знак в кожній критичній точці.

Якщо в критичній точці х₀, де у=0

· у'' > 0, то х₀ -- точка мінімуму;

· у'' < 0, то х₀ – точка максимуму;

· у'' = 0, то питання про наявність екстремуму в точці х₀ залишається відкритим. Таку критичну точку, як і будь-яку іншу, можна досліджувати по правилу IIa.

Далі треба знайти екстремуми функції, тобто обчислити значення функції в знайдених точках екстремуму.

При дослідженні на екстремум деяких типів функцій можливі значні спрощення. Наприклад, якщо функція являє собою дріб з постійним чисельником або корінь з цілим додатнім показником.

Найбільше та найменше значення функції

Найбільшим значенням функції називається саме більше, а найменшим значенням – саме менше з усіх її значень.

Функція може мати тільки одне найбільше значення і тільки одне найменше значення або може не мати їх зовсім. Наприклад, в усій своїй області визначення функція sin x має найбільше значення, рівне одиниці, та найменше значення, рівне мінус одиниці; функції tg x та х³ не мають ні найбільшого, ні найменшого значення; функція –х² має найбільше значення, рівне нулю, але не має найменшого значення; функція має найменше значення, рівне одиниці, але не має найбільшого значення (рис. 5.2).

Знаходження найбільшого і найменшого значення неперервних функцій базується на наступних властивостях цих функцій:

1. Якщо в деякому інтервалі функція f(x) неперервна і має тільки один екстремум і якщо це максимум (мінімум), то він буде найбільшим (найменшим) значенням функції в цьому інтервалі.
2. Якщо функція f(x) неперервна на деякому відрізку [a,b], то вона обов’язково має на цьому відрізку найбільше та найменше значення. Ці значення досягаються нею або в точках екстремуму, що лежать всередині відрізка, або на границях цього відрізка.

Звідси витікає практичне правило для знаходження найбільшого або найменшого значення функції f(x) на відрізку [a,b], де вона неперервна:

• знайти критичні точки, що лежать всередині відрізку [a,b], і обчислити значення функції в цих точках. Обчислити значення функцій на кінцях відрізка, тобто f(a) и f(b).
• порівняти отримані значення функції: саме більше з них буде найбільшим значенням, а саме менше – найменшим значенням функції на усьому даному відрізку.

Оператор-функція

Оператор-функцію застосовують, коли необхідно багаторазово обчислювати функцію при різних значеннях аргументу, як, наприклад, при наближеному розв’язанні алгебраїчних та трансцендентних рівнянь різними методами. Вона дає змогу користувачеві самостійно задавати вид досліджуваної функції. Але використання цього оператору має свої особливості:

1. Оператор-функція DEF FN повинен бути розміщений до тих операторів програми, в яких є звернення до оператору-функції;

2. Оператор-функцію не можна розміщувати в області циклу FOR...NEXT.

Функція DEF FN може бути записана в блочній або в лінійній формі.

Лінійна форма

DEF FN і м’я[(параметри)]=вираз