Порядок статистической обработки и анализ результатов эксперимента

Рассмотрим более подробно порядок статистической обработки и анализа результатов на примере ПФЭ. Следует отметить, что тог же самый порядок будет справедлив и при других методах плани­рования эксперимента, хотя расчетные формулы, разумеется, будут отличаться.

Обработка и анализ результатов ПФЭ предусматривает сле­дующий порядок их проведения.

1. Оцениваются дисперсии среднего арифметического в каждой строке матрицы по формуле

2. Проверяются однородности дисперсий. Так как даже одна грубая ошибка может исказить результаты исследования, прове­дённого при небольшом числе экспериментов, то необходим конт­роль воспроизводимости результатов исследования, который осу­ществляется с помощью критерия Кохрена.

Если проверка показала, что эксперименты воспроизводимы то их результаты можно использовать для оценки коэффициентов регрессии; если же эксперименты невоспроизводимы, то неконтро­лируемые и неуправляемые факторы создают на выходе слишком большой уровень «шума». При отрицательном результате (экспе­рименты невоспроизводимы) проверяется следующая точка (имею­щая второе по величине значение ) и так далее, т. е. выявляются все точки, в которых эксперимент невоспроизводим. При этом можно рекомендовать увеличить число параллельных опытов.

3. Создается математическая модель объекта с проверкой ста­тистической значимости коэффициентов полинома.

После выполнения ПФЭ осуществляют независимую оценку коэффициентов полинома.

После вычисления коэффициентов оценивается их значимость для определения степени влияния различных факторов на выход­ной параметр. Основой оценки значимости является t -критерий.

Коэффициент a_i признается незначимым, если t для числа сте­пеней свободы N (m – 1) меньше t _кр (см. табл. 6. Приложения).

Статистическая незначимость коэффициента a_i может быть вызвана следующими обстоятельствами:

― уровень базового режима по данной переменной Х _{0 i} (или по произведению переменных) близок к точке частного экстремума:

― интервал варьирования ΔХ _i переменной выбран слишком малым;

― данный фактор (взаимодействие факторов) не оказывает влия­ния на значение выходного параметра;

― велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых переменных.

Так как применение ортогональных планов дает возможность оценивать значения всех коэффициентов независимо друг от дру­га, то, если один или несколько коэффициентов окажутся незна­чимыми, они могут быть отброшены без пересчета остальных. От­бросив незначимые коэффициенты, получим уточненную имита­ционную модель в виде полинома, представляющую зависимость выходного параметра от технологических факторов.

4. Проверяется адекватность. Математическая модель должна достаточно верно качественно и количественно описывать свойст­ва исследуемого явления, т. е. она должна быть адекватна. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и коорди­наты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели зна­чение отклика не должно отличаться от фактического более чем на некоторую заранее заданную величину. Для проверки адекват­ности достаточно оценить отклонение предсказанного имитацион­ной моделью значения выходного параметра от результатов эксперимента , в точке Х _j факторного пространства.

Оцениваем дисперсию адекватности

где α – число членов аппроксимирующего полинома.

Если не превышает дисперсии опыта s ²{ у }, то полученная математическая модель адекватно представляет результаты экс­перимента; если же > s ²{ Y }, то проверка гипотезы об адекват­ности проводится с помощью F -критерия при ν_ад = N – α и ν = N (m – 1)

если F<F _кр, то модель признается адекватной.

Очевидно, что такая проверка возможна, если ν_ад>0, ибо при N = α не остается степеней свободы для проверки нуль-гипотезы об адекватности. В этом случае можно провести косвенную про­верку адекватности, поставив ряд экспериментов в центре плана. Различие между средним значением выходной величины, получен­ной в этих экспериментах, и свободным членом линейного уравне­ния может дать представление об адекватности модели. Если это различие незначимо, то можно предположить, что модель адекват­на. При отрицательном результате проверки адекватности (модель недостаточно верно описывает процесс) необходимо либо перехо­дить к уравнению связи более высокого порядка, так как, по-ви­димому, эксперимент ставился в области, близкой к экстремаль­ной, либо, если это возможно, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования Δ Х_i, либо не весь перечень влияющих факторов был принят во внимание.

Уменьшение интервала варьирования приводит к увеличению отношения помех к полезному сигналу, что обусловливает необхо­димость увеличения числа параллельных опытов для выделения сигнала на фоне шума. а также к уменьшению абсолютных зна­чений коэффициентов a_i, величины которых зависят от интервала варьирования и при чрезмерном его уменьшении могут стать ста­тистически незначимыми.

Если полученная модель адекватна, то возможны следующие ситуации.

1. Все линейные коэффициенты значимы. Полученную модель можно использовать для управления процессом и оптимизации его путем движения в направлении к экстремуму.

2. Один из коэффициентов резко выделяется по абсолютной величине; в этом случае движение по градиенту функции выро­дится в обычный однофакторный эксперимент. Поэтому следует повторить эксперимент, уменьшив интервал варьирования этого фактора или увеличив его для других факторов.

3. Некоторые из линейных коэффициентов незначимы. Ими можно пренебречь, если соответствующие факторы действительно не оказывают влияния на выходной параметр (например, если не­значимым оказался включенный в исследование из осторожности фактор, который и по априорным сведениям не должен оказывать существенного влияния на функцию отклика). Если в этом уверен­ности нет, то необходимо поставить новую серию опытов, расши­рив интервалы варьирования у соответствующих факторов.

4. Некоторые или все линейные коэффициенты незначимы, но значимы коэффициенты взаимодействия a_ij. Такое положение мо­жет возникнуть из-за неудачного выбора интервалов варьирова­ния, поэтому надо поставить новую серию опытов, увеличив ин­тервалы варьирования у соответствующих факторов. Причиной подобной ситуации может быть и то, что эксперимент ставился в области, в которой линейное приближение является неудачной моделью поверхности отклика. В этом случае переходят к нахож­дению математической модели более высокого порядка.