Статистическая проверка гипотез о свойствах эксперимента

С целью повышения достоверности полученных в результате эксперимента значений функции отклика, проводят ряд параллельных опытов, число n которых опре­деляет сам исследователь, исходя из конкретных условий проведе­ния эксперимента, характера исследуемого объекта и выбранного плана эксперимента. Однако при проведении параллельных опы­тов исследователь должен быть уверен в воспроизводимости экс­перимента, т. е. в том, что все полученные в n опытах значения функции отклика у ₁₁, у ₁₂,..., у _{1 n} , являются результатом случайного рассеяния, а не результатом доминирующего действия какого-либо неконтролируемого и неуправляемого воздействия, которое может возникнуть при проведении опыта. Если при проведении экспе­римента отсутствует такое доминирующее воздействие, то при возрастании числа параллельных опытов распределение экспериментальных значений функции отклика будет подчиняться закону Гаусса (нормальному закону).

Соответствие экспериментального распределения случайной ве­личины предполагаемому теоретическому закону распределения можно оценить с помощью критерия Пирсона.

Критерий Пирсона и его применение в общем виде для оценки соответствия экспериментального распределения предполагаемому теоретическому можно проиллюстрировать на следующем примере.

Предположим, что имеется статистический ряд наблюдений над случайной величиной x. Требуется проверить, согласуются ли экс­периментальные данные с гипотезой о том, что случайная величина имеет предполагаемый теоретический закон распределения.

Первоначально статистический ряд разбивают на k интервалов и подсчитывают число значений случайной величины Y в каждом интервале. В результате получают экспериментальный ряд частот

Следует сразу оговорить, что предпосылкой применения крите­рия χ² является достаточная заполненность интервалов. На прак­тике рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5... 10 на­блюдений. Если число наблюдений в отдельных интервалах мало, имеет смысл объединить эти интервалы.

Исходя из предполагаемого теоретического закона распределе­ния вычисляют частоты m_i в тех самых интервалах, на которые разбит статистический ряд. В результате получают теоретический ряд частот в k интервалах: .

Для проверки согласованности теоретического и эксперимен­тального распределений подсчитывают меру расхождения

или

и число степеней свободы ν. Число степеней свободы в этом случае равно числу интервалов и минус число ограничений f

ν = k – f

Число ограничений равно числу параметров в рассматривае­мом законе распределения, увеличенному на единицу. Например, для гауссовского закона имеются два параметра [ М (х) и σ]; в этом случае число ограничений равно трем, а экспоненциальный закон характеризуется одним параметром λ, т. е. число ограничений для него равно двум.

Для распределения χ² составлены специальные таблицы (см. табл. 2. Приложения). Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения χ² и числа степеней свободы ν, являющихся входами, определить вероятность P того, что за счет чисто случайных при­чин мера расхождения теоретического и экспериментального рас­пределения будет меньше, чем фактически наблюдаемое в данной серии опытов значение χ². Если эта вероятность Р мала (настолько, что событие с такой вероятностью можно считать прак­тически невозможным), то результат опыта следует считать про­тиворечащим гипотезе о том, что закон распределения величины Y является гауссовским. Эту гипотезу следует отбросить, как неправ­доподобную.

Напротив, если вероятность Р сравнительно велика, можно при­знать расхождение между теоретическим и экспериментальным распределениями несущественным и отнести его за счет случайных причин. Гипотезу о том, что величина Y распределена по нормаль­ному закону, можно считать в этом случае правдоподобной, по крайней мере не противоречащей экспериментальным данным.

В табл. 2. Приложения входами являются значение χ² и число степеней свободы ν. Числа, стоящие в таблице, представляют соот­ветствующие значения Р.

Насколько мала должна быть вероятность Р для того, чтобы отбросить или пересмотреть гипотезу, – вопрос неопределенный. Он не может быть решен из математических соображений, а дол­жен базироваться на априорных сведениях о физической сущности изучаемого процесса.

Аномальность крайних значений ранжированного ряда случай­ных величин можно проверить с помощью критерия Диксона.

Критерии Диксона позволяет оценить принадлежность случай­ной величины к рассматриваемой генеральной совокупности слу­чайных величин. Для этого необходимо расположить все экспери­ментальные значения (включая и те, которые вызывают подозре­ние исследователя) в ранжированный (возрастающий или убы­вающий) ряд. Затем вычисляется один из коэффициентов Диксона, приведенных в табл. 5, в зависимости от числа случайных вели­чин в ранжированном ряде и от того, проверяется ли наибольшее или наименьшее экстремальное значение.

Таблица 5.
Число наблюдений	Обозначение коэффициента Диксона	Для наименьшего экстремального значения	Для наибольшего экстремального значения
3 … 7	r 10
8 … 10	r 11
11 … 13	r 21
14 … 30	r 22
3 …10 (для двух точек и более)	r 20

 

Полученный коэффициент Диксона сравнивают с его табличным значением, учитывающим экстремальное значение при заданных значениях коэффициента риска (см. табл. 3. Приложения). Если расчетный коэффициент для экстремального значения меньше таб­личного, то проверяемое значение случайной величины не отли­чается от ожидаемого его значения, расположенного в гауссовском распределении случайных величин их генеральной совокупности. Следовательно, подозреваемое значение функции отклика факти­чески не является аномальным, как это могло показаться исследо­вателю с первого взгляда. Причем, достоверность вывода может быть сделана исследователем с различным уровнем риска. Так, для выбранного значения коэффициента риска β=0,1, исследова­тель рискует ошибиться в сделанных на основании этой таблицы выводах один раз из десяти, а при β=0,005 – в пяти из тысячи.

Рассмотренный подход к оценке аномальности эксперименталь­ного значения случайной величины справедлив только при рассмот­рении одного экстремального одностороннего значения. При одновременном наличии наибольшего и наименьшего экстремальных значений в исследуемом ранжируемом ряду считается, что одностороннее экстремальное значение одно.

Все указанные коэффициенты могут быть повторно использо­ваны для одного и того же ранжированного ряда эксперименталь­ных значений, с целью проверки оставшихся «подозрительных» значений случайной величины, после устранения предыдущих.

Таким образом, прежде чем на основании данных, полученных в параллельных опытах, подсчитывать среднее значение функции отклика, следует в любом случае проверить их крайние значе­ния по критерию Диксона. Однако, как можно было убедиться, применение критерия Диксона имеет практический смысл только при большом числе параллельных опытов (m >3). Поэтому на практике, для проверки однородности дисперсии полученных экс­периментальных значений чаще используют критерий Кохрена.

Критерии Кохрена. Этот критерий применяется для оценки од­нородности дисперсий только при равном числе повторов каждого эксперимента, что и имеет место при применении методов стати­стического планирования и проведения эксперимента.

Для применения критерия Кохрена рассчитывается дисперсия экспериментальных значений функции отклика в каждой строке матрицы планирования эксперимента. В результате полу­чается ряд значений выборочных дисперсий . Очевидно, что недоверие будут вызывать именно наи­большие их значения.

Далее подсчитывается параметр

при j =1... N, т. е. вычисляют отношение максимального значения изменчивости среди N опытов к сумме изменчивостей во всех N опытах.

Найденное наибольшее экспериментальное значение G сравнивают с критичным его значением G _кр.

Критичное значение G _кр представляет собою максимально воз­можное значение параметра G, при котором гипотеза о воспро­изводимости эксперимента еще может считаться справедливой. В этом случае максимальная изменчивость функции отклика, полу­ченная в результате проведения m параллельных опытов, не отли­чается от ожидаемой среди N опытов. Поэтому, если G ≤ G _кр, то «подозрительное» максимальное значение изменчивости не яв­ляется «инородным», а представляет собою результат случайного рассеяния исследуемой функции отклика, т. е. эксперимент воспро­изводим. В противном случае, когда G > G _кр—эксперимент не вос­производим, и необходимо повторить его в анализируемой экспе­риментальной точке, добившись воспроизводимости, т. е. выполне­ния G _кр≥ G.

Критичное значение отношения рассматриваемой изменчивости к сумме всех изменчивостей находят из таблицы критических значений критерия Кохрена для гауссовского закона распреде­ления значений функции отклика в генеральной их совокупности (см. табл. 4. Приложения).

Задаваясь определенным значением коэффициента риска β (обычно задаются β =0,10; 0,05; 0,01), G _кр определяют в столбце, соответствующем числу параллельных опытов (n) и строке, соот­ветствующей числу опытов (N).

Критерий Фишера (F -критерий). При анализе результатов экс­перимента требуется не только уточнить вопрос о воспроизводи­мости эксперимента, оценивая однородность изменчивости и, в част­ности, дисперсии в различных опытах в ходе его проведения, но и оценить различие значений дисперсий для одной и той же слу­чайной величины. Если эти различия являются случайными, то гипотеза о фактическом равенстве, этих дисперсий является спра­ведливой. В этом случае изменчивость, например, эксперимен­тально полученных значений функции отклика, является ожидае­мой для рассматриваемой генеральной совокупности их распреде­ления.

При гауссовском законе распределения случайной величины для проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий одной и той же случайной величины, в качестве критерия значимости исполь­зуется F -параметр, который равен отношению двух рассматриваемых выборочных дисперсий s ₁ и s ₂, имеющих соответственно сте­пени свободы ν₁ и ν₂, т. е.

Числом степеней свободы –называют разность между числом экспериментов и числом значений независимых случайных величин, полученных в результате этих экспериментов, которые не позволяют оцениваемой в результате этих экспериментов величине принимать какое-либо другое значение, отличное от полученного по окончании их проведения.

При расчете F -параметра должно выполняться усло­вие s ₁> s ₂. В противном случае следует поменять местами рас­сматриваемые дисперсии.

Найденное экспериментальное значение F -параметра сравни­вается с его критическим значением F _кр, соответствующим макси­мальному значению отношением двух дисперсий, при котором еще можно считать гипотезу о равенстве рассматриваемых дисперсий справедливой.

Критичное значение F _кр по числу степеней свободы и заданному коэффициенту риска находится из табл. 5. Приложения. Значение числа степеней свободы ν₁ дисперсии, стоящей в числителе, определяет значение F _кр по столбцу, а значение ν₂ – по строке. Если F ≤ F _кр, то гипотеза о равенстве выборочных дис­персий принимается. В противном случае, рассматриваемые диспер­сии относятся к различным генеральным совокупностям исследуе­мой случайной величины.

Критерий Стьюдента (t -критерий). Для проверки гипотезы о ра­венстве двух выборочных средних значений случайной величины, имеющей гауссовский закон распределения, используется крите­рий Стьюдента. Для применения данного критерия подсчитывают выборочные средние арифметические значения случайной вели­чины х ₁ и х ₂, соответственно для выборок n ₁ и n ₂, и их выборочные стандартные отклонения

Далее подсчитывают величину стандартного отклонения выбороч­ных средних арифметических значений по формуле

Для случая, когда среднее выборочное сравнивается с матема­тическим ожиданием М (х) генеральной совокупности N, из кото­рой берется выборка, и при условии, что п «N, дисперсия средних подсчитывается по формуле

Если генеральная характеристика σ; неизвестна (а это наиболее часто встречающийся случай), то берется ее оценка

После того, как определены стандартные отклонения выбороч­ных средних арифметических, подсчитывают размах Стьюдента:

или

Найденное экспериментальное значение t сравнивают с критичным значением t _кр, которое определяют по таблице распределения Стью­дента для заданного коэффициента риска β (см. табл. 6. Приложе­ния) и числа степеней свободы ν. Если t < t _кр, то гипотеза о ра­венстве выборочных средних арифметических значений прини­мается, а это значит, что выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности.

При малом объеме выборки (n <10) t – случайная величина и ее распределение не является гауссовским. Однако по мере уве­личения объема выборки t -распределение приближается к гауссовскому. При n >30 его можно считать практически гауссовским.

После вычисления коэффициентов имитационной модели, пред­ставленной в виде линейного полинома, оценивается их значимость для определения степени влияния раз­личных факторов на выходной параметр (функцию отклика). Осно­вой оценки значимости коэффициентов полинома является сопо­ставление абсолютного значения, например, коэффициента (a_i) и дисперсии ошибки его определения s²{ a_i }. В этом случае с по­мощью t -критерия проверяется гипотеза о незначимости рассмат­риваемого коэффициента, т. е. гипотеза о том, что a_i = 0 (проверка нуль-гипотезы). Поэтому при подсчете экспериментального зна­чения t -параметра в числитель ставится абсо­лютное значение рассматриваемого коэффициента, а в знамена­тель — дисперсия ошибки его определения, т. е. для оценки коэф­фициентов, стоящих в линейных членах полинома, имеем

При ортогональном планировании эксперимента дисперсии оши­бок определения каждого из коэффициентов равны между собой

где N — число номеров опытов, определяющих в соответствии с матрицей планирования, условия проведения эксперимента; m — число параллельных опытов для каждого условия (номера опыта) проведения эксперимента.

Для оценки дисперсии воспроизводимости s²{ Y } можно вос­пользоваться группой выборочных дисперсий. Тогда

Коэффициент a признается незначимым, если t для числа сте­пеней свободы ν =N(m— 1) меньше t _кр, найденному из табл. 6. При­ложения для заданного значения коэффициента риска β.