Дробный факторный экспериментПри большом числе учитываемых в эксперименте факторов ПФЭ становится громоздким и отнимает много времени для его проведения, так как при увеличении количества факторов число опытов растет по экспоненте. Правда, при этом уменьшаются ошибки при определении коэффициентов полинома, так как для оценки каждого из них используются все опыты. Однако, число опытов можно сократить, если априорно известно, что на процесс не оказывают влияния те или иные взаимодействия; действительно, в реальной ситуации некоторые взаимодействия факторов особенно высокого порядка (то есть включающих большое число факторов) не влияют на выходной параметр. В этом случае, можно использовать так называемые дробные реплики от ПФЭ или дробный факторный эксперимент. Предположим, что необходимо получить математическое описание процесса при трех учитываемых факторах x 1, x 2, и x 3, оказывающих влияние на функцию отклика y. При использовании ПФЭ для определения коэффициентов полинома 1-ого порядка необходимо провести восемь опытов (23) в соответствии с матрицей планирования. Число опытов должно быть не менее числа коэффициентов полинома, для нахождения которого планируется эксперимент. В данном случае, планируемая математическая модель, описывающая исследуемый процесс, имеет вид полинома, содержащего восемь коэффициентов от a 0 до a 123. Однако, если взаимодействие между факторами X 1, X 2, и X 3 отсутствуют, можно ограничиться четырьмя опытами. В этом случае, можно воспользоваться матрицей планирования ПФЭ для двух факторов, заменив в ней обозначение х 1 х 2 на x 3, соответствующее безразмерному значению фактора Х 1. на верхнем и нижнем его уровнях. Чередование знаков в этом столбце соответствует результату перемножения безразмерных значений двух других факторов (X 1 и X 2), т. е. остается неизменным после замены символов в матрице планирования, которая после введения в нее третьего фактора остается ортогональной. Эксперимент в этом случае будет ставиться уже с включением третьего фактора, изменяющегося согласно столбцу х 1 х 2 ПФЭ, а предполагаемая математическая модель будет иметь вид полинома 1-го порядка, не учитывающего взаимодействия факторов, т. е.
Такой сокращенный план содержит половину опытов от требуемого их числа 2 k согласно плану ПФЭ (в нашем случае четыре опыта вместо восьми) и называется полурепликой от ПФЭ типа 2 k. Условное обозначение такого плана: ДФЭ типа 2 k-I, где k – число учитываемых в эксперименте факторов; I – число взаимодействий, замененных факторами, учитываемых в эксперименте. Для рассматриваемого случая трех факторов Х 1, Х 2, Х 3 матрица планирования ДФЭ типа 23-1(x 3= x 1 x 2) будет иметь вид
Приведенное планирование эксперимента дает возможность при обработке и анализе его результатов оценить в полиноме свободный член a 0 и коэффициенты при линейных членах a 1, a 2 и a 3. Однако при этом предполагается, что коэффициенты a 12, a 13, a 23, и a 123 в этом полиноме равны нулю. Поэтому составление такой матрицы планирования эксперимента возможно лишь в том случае, если полностью отсутствует или пренебрежительно мало влияние на функцию отклика эффектов взаимодействия факторов исследуемого процесса. Только в этом случае математическая модель, представленная полиномом, в котором отсутствуют члены, учитывающие эти взаимодействия (так как соответствующие им коэффициенты равны нулю), может быть адекватна исследуемому процессу. При использовании матрицы планирования ДФЭ нужно всегда помнить, что мы получаем совместную оценку нескольких эффектов: факторов и их взаимодействий. Действительно,
Поэтому подсчитываемые в дальнейшем значения линейных коэффициентов a 1, a 2 и a 3 полинома по экспериментальным значениям функции отклика будут всегда включать также значения коэффициентов, учитывающих эффект влияния взаимодействия факторов на функцию отклика (в нашем случае — это коэффициенты a 12, a 13 и a 23). В результате этого подсчитанные значения коэффициентов полинома фактически будут иметь следующий вид:
где a 1, a 2 и a 3 – действительные значения линейных коэффициентов полинома; a ΄1, a ΄2 и a ΄3 – полученные их значения при наличии эффекта влияния взаимодействия факторов на функцию отклика. Вот почему для получения математической модели вида (*), адекватной исследуемому процессу, необходимо быть уверенным в отсутствии эффекта влияния взаимодействия факторов на экспериментальное значение функции отклика. Только при этом условии подсчитанные коэффициенты a ΄ i будут искомыми значениями линейных коэффициентов ai. Если это условие не выполняется, то найденные значения линейных коэффициентов a ΄ i, будут отличаться от действительного значения ai на величину коэффициента aij учитывающего эффект влияния парного взаимодействия двух других факторов. Эти эффекты не могут быть раздельно оценены при планировании, состоящем только из одной полуреплики ПФЭ. Если вернуться к нашему случаю исследования процесса, в котором учитываются три фактора, то проведение четырех опытов было достаточно для оценки четырех коэффициентов (включая свободный член a0) именно для математической модели вида (*), в которой эффект влияния взаимодействия факторов не учитывается. Если же у исследователя возникают сомнения в отсутствии этого эффекта, то необходимо вернуться к модели ПФЭ и провести не менее восьми опытов и все коэффициенты (включая коэффициенты, учитывающие эффект влияния взаимодействий факторов) оценить раздельно. Раздельно оценить эти эффекты (т. е. раздельно оценить коэффициенты a 1, a 2, a 3, a 12, a 13, и a 23, входящих в полученные значения a ΄1, a ΄2, и a ΄3 ) с помощью четырех опытов, условия которых оговорены матрицей планирования ДФЭ 23-1, не представляется возможным, так как здесь неразличимы столбцы для линейных членов и парных взаимодействий. Однако такую раздельную оценку для линейных коэффициентов a ΄ i и коэффициентов a ΄ ij, учитывающих парное взаимодействие факторов, можно провести, если поставить дополнительно еще четыре опыта в соответствии с матрицей планирования ДФЭ 23-1, приравнивая x 3 = – x 1 x 2. Подсчитанные коэффициенты a ΄ i, линейных членов полинома, также как и в предыдущем случае, будут включать реальные значения коэффициентов a 1, a 2 и a 3, учитывающих эффект влияния парного взаимодействия факторов на полученный экспериментальный материал. Но в данном случае совместная оценка коэффициентов уже будет происходить с обратным знаком
Изменение знака объясняется тем, что для матрицы ДФЭ 23-1 взаимозависимость значений факторов имеет вид
Теперь после постановки уже восьми опытов в соответствии с приведенными планами можно записать раздельные оценки
Таким образом, для получения раздельных оценок ai и aij необходимо было провести восемь опытов, т. е. пришлось объединить две полуреплики от ПФЭ 23. Поэтому практически всегда имеет смысл начинать исследования с ДФЭ; если у исследователя появились сомнения в том, что какие-то взаимодействия, ранее не включенные в план эксперимента, могут влиять на выходной параметр он всегда имеет возможность расширить матрицу планирования до ДФЭ меньшей дробности или ПФЭ и найти раздельную оценку интересующих его эффектов. В случае применения матриц планирования ДФЭ для исследования процессов, содержащих более трех факторов, нужно стремиться к тому, чтобы максимальное число линейных факторов оказалось не смещенным с парными взаимодействиями. Чем более высокие уровни взаимодействия будут заменены факторами из числа рассматриваемых в эксперименте, тем более высоким уровнем разрешающей способности для раздельной оценки коэффициентов полинома будет обладать матрица ДФЭ. Для формализации процедуры определения разрешающей способности дробной реплики, представленной в виде матрицы планирования ДФЭ при фиксированных k и I, вводятся понятия генерирующего соотношения (ГС) и определяющего контраста (ОК.). В примере с тремя факторами Х 1, Х 2 и Х 3генерирующими соотношениями являются x 3 = x 1 x 2 и x 3 = – x 1 x 2, каждое из которых характеризует соответствующую полуреплику от ПФЭ типа 23. Выражения ОК получаются умножением левой и правой частей приведенных ГС на их левую часть, т. е. на x 3. При этом получаются элементы второго столбца матрицы планирования ДФЭ, соответствующие свободному члену a 0 полинома, которые всегда равны единице, так как x2i = 1:
Формализация заключается в том, что определяющие контрасты позволяют определить всю систему совместных оценок факторов и взаимодействий, не изучая матрицы планирования. Для этого последовательно умножают обе части ОК на соответствующие эффекты и получают всю картину совместных оценок данной матрицы ДФЭ. При планировании эксперимента исследователь имеет возможность приравнять вновь вводимые в матрицу факторы различным взаимодействиям, и, как следствие, получить различные ОК и системы совместных оценок. Из всех вариантов приемлемыми являются лишь те, в которых не происходит совместная оценка двух интересующих исследователя эффектов. Имея систему совместных оценок, можно формализовать процедуру построения плана ДФЭ, обеспечивающего высокую разрешающую способность при определении коэффициентов полинома. Чтобы получить высокую разрешающую способность, стремятся таким образом построить план ДФЭ, чтобы линейные факторы были смешаны с взаимодействиями самого высокого порядка (они чаще бывают равными нулю) или с теми взаимодействиями, о которых априорно известно, что они не оказывают влияния на процесс. Оценить разрешающую способность нам помогает ГС, чем больше символов входит в ГС, тем обычно выше разрешающая способность. Например, если в эксперименте рассматриваются четыре фактора (k = 4), то в предполагаемой линейной имитационной математической модели, соответствующей полиному 1-го порядка, имеем
При планировании ПФЭ типа 24, необходимо было бы провести минимум 16 опытов для определения 16-ти коэффициентов. Полуреплика от этого плана ПФЭ будет включать 8 опытов, а соответствующую матрицу ДФЭ типа 24-1 можно построить на базе матрицы планирования ПФЭ типа 23, заменив одно из взаимодействий на четвертый фактор. Рассмотрим в качестве генерирующих соотношений одно, из числа низкого порядка, например х 4= х 1 х 2, а другое – из числа самого высокого порядка, в данном случае х 4 = х 1 х 2 х 3. На основании выбранных ГС найдем соответствующие ОК:
С помощью найденных ОК составим две системы совместных оценок:
Приведенные оценки двух полуреплик от ПФЭ 24 получены для двух выбранных ГС, когда взаимодействия факторов приравниваются к независимой переменной (в нашем случае, к четвертому линейному фактору Х 4). При ГС х 4= х 1 х 2 (левая колонка системы совместных оценок), член, учитывающий парное взаимодействие факторов Х 1 и Х 2 (a 12 Х 1 Х 2) будет заменен в уравнении, а следовательно, и в матрице, на член, учитывающий влияние четвертого фактора Х 4 на функцию отклика, что соответствует плану ДФЭ 24-1 и имитационной математической модели вида
Для ГС х 4 = х 1 х 2 х 3 план ДФЭ 24-1 будет соответствовать модели вида
В обоих случаях потребуется провести 8 опытов для определения 8 коэффициентов. Однако разрешающая способность дробной реплики ГС х 4 = х 1 х 2 х 3, для раздельной оценки коэффициентов a 1, a 2, a 3, a 4 при линейных членах полинома будет выше потому, что все линейные факторы, как видно из приведенной системы совместных оценок, не смешаны с парными взаимодействиями, в то время, как для ГС x 4 = x 1 x 12 три из четырех линейных факторов смешаны с парными взаимодействиями. Для четверти реплики в пятифакторном планировании типа 25-2 могут быть заданы, например генерирующее соотношение
заранее полагая, что пара x 1 x 2 и тройка x 1 x 2 x 3 не дает значимого эффекта взаимодействия. Определяющими контрастами для этой четверть-реплики согласно вышеприведенным правилам будут соотношения
Если у дробной реплики имеются два и более определяющих контраста, то для нахождения обобщающего определяющего контраста их необходимо перемножить между собой, используя все возможные комбинации. В случае четверть-реплики получается одна комбинация
Обобщающий определяющий контраст, построенный на основе всех полученных определяющих контрастов, полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степени дробности
Совместные оценки здесь будут определяться соответствиями
По мере возрастания числа учитываемых в исследуемом процессе факторов можно применять реплики с большей степенью дробности (1/4,1/8). При этом с ростом числа независимых переменных (учитываемых факторов) растет разрешающая способность дробных реплик, ибо для линейной имитационной модели соответственно возрастет порядок взаимодействия факторов и количество членов полинома, учитывающих эти взаимодействия, а следовательно, увеличивается точность оценки коэффициентов при линейных членах, смешанных с взаимодействиями высокого порядка. Число опытов, проводимых в соответствии с матрицей дробной реплики для раздельной оценки коэффициентов полинома, должно быть не менее числа коэффициентов в предполагаемой имитационной модели, включая коэффициент a 0. Центральные композиционные планы Разработка математической модели предусматривает принцип «от простого к более сложному», то есть постепенный переход от «грубой» модели к моделям, более точно описывающим исследуемый процесс. В имитационной модели, соответствующей полиному первого порядка, этот принцип предусматривает переход к полиному второго порядка. Как было показано ранее, шаговое движение к экстремуму продолжается до тех пор, пока исследователь не достигнет области, близкой к экстремуму (или «почти стационарной»), которая не может быть описана линейным приближением. Здесь уже становятся значимыми квадратичные эффекты. Близость к «почти стационарной» области можно установить, поставив ряд экспериментов в центре плана, определить среднее значение функции отклика Вычисляемое для линейного уравнения значение a 0 при реализации ПФЭ или ДФЭ в «почти стационарной» области является совместной оценкой для свободного члена и суммы квадратичных членов, так как безразмерные значения, стоящие в соответствующих столбцах матрицы, будут одинаковыми. Поэтому разность В то же время, из теории интерполяции известно, что для нахождения раздельных оценок коэффициентов интерполяционного полинома число уровней изменения каждой из независимых переменных должно быть на единицу больше порядка полинома. Иными словами, для вычисления полинома второго порядка число уровней должно быть, как минимум, три. В ПФЭ 3 k при k =2 потребуется проведение минимум девяти опытов, а для трех факторов, их число резко возрастет до 27. Поэтому при увеличении числа учитываемых факторов применение ПФЭ 3 k не рационально, так как это планирование характеризуется резким увеличением объема эксперимента.
Сократить число опытов можно, используя так называемые центральные композиционные планы (ЦКП), ядром которых являются линейные ортогональные планы. Большое преимущество этих планов состоит в том, если гипотеза о линейности математической модели, соответствующей исследуемому процессу, в результате анализа экспериментальных данных не подтвердилась, то нет необходимости ставить все эксперименты заново для получения модели более высокого порядка. Достаточно, в этом случае, добавить несколько специально спланированных экспериментальных точек, чтобы получить план, соответствующий полиному второго порядка. Построение ЦКП можно пояснить на примере с тремя независимыми переменными, соответствующие трем факторам X 1, X 2 и X 3. Предположим, что для нахождения линейной модели применен ПФЭ 23, экспериментальные точки которого находятся в вершинах куба (рис. 11). В результате анализа экспериментальных данных установлено, что имитационная математическая модель в виде полинома первого порядка не адекватна исследуемому процессу. Тогда в центре плана, соответствующего начальному значению всех учитываемых в эксперименте факторов, проводится опыт, условия которого в матрице планирования эксперимента отображаются нулями для безразмерных величин всех факторов. Для повышения достоверности полученного экспериментального значения функции отклика у 0 в центре плана, опыты повторяют при неизменных нулевых значениях факторов. Подсчитанное среднее значение функции отклика у 0 сравнивают с теоретическим значением a 0, которое несложно получить из разработанной линейной модели процесса в результате ранее проведенного ПФЭ 23 и анализа его результатов. По разности a 0 - у 0 оценивают кривизну поверхности отклика. При подтверждении неадекватности линейной модели ставятся дополнительные опыты для значений факторов, превышающих их абсолютные значения по верхнему и нижнему уровням (в безразмерных величинах). Эти значения должны быть больше единицы по абсолютным значениям, установленным в предшествующем плане ПФЭ. Таким образом, в ПФЭ 23, к ранее проведенным восьми опытам добавляются еще семь опытов (включая опыт в центре плана), шесть из которых соответствуют «звездным точкам». «Звездные точки» (рис. 11) представляют собой два уровня варьирования каждым из трех факторов, значения которых лежат за пределами граней куба. Как видно из рис. 11, все «звездные точки» расположены на расстоянии большем, чем ±1 от центра плана и лежат на поверхности сферы диаметром 2α. Общее число опытов центрального композиционного плана при k факторах составит
где2 k - число «звездных точек»; т 0 - число опытов в центре плана, а общее число уровней варьирования ЦКП равно пяти. В теории планирования экспериментов для получения моделей 2-го порядка различают несколько типов ЦКП. Наибольшее распространение получили ортогональный и рототабельный ЦКП. Центральный композиционный ортогональный план (ЦКОП). При составлении матрицы планирования эксперимента этот план предусматривает проведение только одного опыта, условия которого соответствуют начальным значениям всех учитываемых факторов (в центре плана), т. е. т 0 = 1. Поэтому для ЦКОП число опытов равно
Соответствующая матрица ЦКОП для имитационной модели исследуемого процесса, соответствующая полиному 2-го порядка при k = 3, приведена в табл. 2. Как видно из таблицы, ЦКОП при k = 3 содержит всего 15 опытов, в то время как ПФЭ 33 потребовал бы проведения 27 опытов. Следует также обратить внимание на то, что условие ортогональности матрицы выполняется только для линейных членов соответствующего полинома 2-го порядка, представляющего собой имитационную модель вида
Из анализа табл. 2 нетрудно убедиться, что для матрицы ЦКОП условие ортогональности не выполняется для столбцов, соответствующих квадратичным членам полинома, так как
где i,l = 1.. k; x 2 ij - безразмерное квадратичное значение i -го фактора, соответствующее j -му опыту. Для приведения матрицы (табл. 2) к ортогональному виду необходимо провести преобразование квадратичных переменных
где x 2 ij п – преобразованное (п), безразмерное квадратичное значение i -го фактора, соответствующее j -му опыту. Для выполнения условия ортогональности матрицы ЦКОП, помимо преобразования столбцов, соответствующих квадратичным членам полинома, и приведения значений, стоящих в них, необходимо величину звездного плеча α выбирать соответственно:
при k<5
при k =5
Ядро ЦКОП при k <5 составляет, как правило, ПФЭ типа 2 k, а при k ≥5 - ДФЭ типа 2 k -1, так как во втором случае полуреплика от ПФЭ вполне обеспечивает возможность независимой оценки линейных членов полинома и членов, учитывающих эффект взаимодействия факторов. Значения звездного плеча, согласно условиям приведенным выше, равны
Преобразовав соответствующим образом матрицу ЦКОП, приведенную в табл. 1, получим матрицу ЦКОП, которая полностью соответствует условию ортогональности (табл. 3). Для приведенной в табл. 3 матрицы ЦКОП будет соответствовать имитационная модель
Для перехода от данной модели к модели (**), необходимо пересчитать коэффициент a 0, который будет определяться
или, в общем виде
При применении ЦКОП получение идентичной информации во всех направлениях исследуемого пространства невозможно, так как дисперсии ошибок определения коэффициентов полинома различны, т. е. точность предсказания выходной величины (значения функции отклика Y) в различных направлениях факторного пространства неодинакова – информационные поверхности не являются сферами. Это можно пояснить с помощью рис. 12.
Ранее было показано, что точность получаемого экспериментально представления об исследуемом объекте зависит от интервалов варьирования. При расположении экспериментальных точек как предусмотрено опытами в ЦКОП на рис. 12, а) и б) точность информации, получаемой с различных направлений, меняется при повороте осей координат относительно экспериментальных точек. Так, на рис. 12, б) более точную информацию (экспериментальные точки расположены на большем расстоянии друг от друга) имеем по осям координат, а на рис. 12, а) – с межосевых направлений, но в обоих случаях информационные поверхности далеки от сферических. Центральный композиционный рототабельный план (ЦКРП). Более удачным является рототабельное планирование эксперимента, при котором информационная поверхность приближается к сферической т. е. точность Y во всех направлениях на одинаковом расстоянии R от центра планирования становится практически одинаковой. При этом, ЦКРП позволяет минимизировать ошибки в определении Y, связанные с неадекватностью представления результатов исследования процесса имитационной моделью в виде полинома 2-го порядка. Это достигается тем, что, выбирая удаленные от центра плана «звездные точки» на осях координат для непрерывности информационной поверхности, они дополняются информацией из центра плана, представляющей собой сферу с нулевым радиусом, т. е. информацией равноточной во всех направлениях. Удельный вес этой информации в общем объеме информации увеличивается, что достигается увеличением числа опытов (т 0) вцентре плана. Роль центральных точек можно образно сравнить с ролью «золотого петушка» в одноименной сказке А. С. Пушкина, который находясь на шпиле дворца давал равноточную информацию о приближающемся противнике со всех направлений. Ставя несколько экспериментов в центре плана, «накачиваем» информацию в центр плана, приближая информационные поверхности к сферам. Таким образом, в ЦКРП, число опытов т 0 в центре плана зависит от числа учитываемых в эксперименте факторов, т. е. т 0 =f (k). Так, для k =3, т 0=6 (т. е. числу звездных точек). Это безусловно приводит к увеличению числа номеров опытов по сравнению с ЦКОП, но обеспечивает непрерывность информационной поверхности и ее идентичность независимо от поворота осей координат. При реализации рототабельных планов можно отказаться от постановки параллельных опытов для оценки воспроизводимости экспериментов, что уменьшит общее число опытов по сравнению с ЦКОП. Дисперсия воспроизводимости (дисперсия экспериментальных значений функции отклика в параллельных опытах) может быть оценена в этом случае по экспериментам в центре плана. Чтобы композиционный план был рототабельным, величина звездного плеча а выбирается из условий:
Подсчитанные значения звездного плеча α и число центральных точек т 0, в зависимости от числа учитываемых в эксперименте факторов, приведены ниже.
Для k =3 и соответственно т 0 = 6 выражение для количества опытов примет вид
Из выражения следует, что для трех учитываемых в эксперименте факторов Х 1, Х 2и Х 3 в ЦКРП потребуется проведение не менее 20 опытов по сравнению с 15-ю опытами в случае применения ЦКОП (табл. 4). Причем, все эти дополнительные пять опытов проводятся в центре плана, т. е. для безразмерных значений всех факторов, равных нулю (Хi = 0).
|
и сравнить его с теоретическим значением a 0, исходя из предполагаемой имитационной модели в виде полинома первого порядка.
может дать представление о кривизне поверхности отклика. «Почти стационарную» область обычно удается описать с достаточной точностью полиномом второго порядка.
