Примеры. 1. Определить область, заданную неравенствами: 2£ Im(z-i)£3

1. Определить область, заданную неравенствами: 2£ Im(z-i)£3. Перейдем к декартовым координатам, получим 2£ y-1£3Þ3£ y£ 4. Это область, заключенная в полосе между прямыми y=3 и y=4.

2. Определить область, заданную неравенством I z-i I<I z+3 I. Перейдем к декартовым координатам, получим

Это часть плоскости, расположенная выше прямой y=-3x-4.

3. Определить область, заданную неравенством I z-3+2i I>2. Это часть плоскости, расположенная вне круга

 

Правило умножения двух комплексных чисел позволяет получить замечательное соотношение, открытое английским математиком А. де-Муавром (1667–1754).

Найдем квадрат комплексного числа z = r(cos j + i sin j), т.е. результат произведения этого числа на само себя:

z² = z•z = r(cos j + i sin j)•r(cos j + i sin j).

По правилу умножения двух комплексных чисел имеем: z² = r²(cos j + i sin j)² = r²(cos 2j + i sin 2j).

Повторяя n раз операцию возведения в степень числа z, мы получим формулу n-ой степени числа z:

zⁿ = rⁿ(cos nj + i sin nj),

где n – натуральное число.

Методом математической индукции можно доказать эту формулу. Она представляет собой обобщение формулы, открытой Муавром. Муавр открыл ее для случая, когда модуль комплексного числа z равен 1. Формула Муавра имеет вид:

(cos j + i sin j)ⁿ = cos nj + i sin nj,

где n Î N.

С помощью формулы Муавра можно вывести многие полезные соотношения, в частности, между тригонометрическими выражениями.

Формула Муавра позволяет найти значения корней любой (n-й) степени в поле комплексных чисел. Под корнем n-й степени из числа z понимают такое число a, n-я степень которого равна z: aⁿ = z. Ограничимся рассмотрением вопроса об извлечении корня n-ой степени из 1 в поле комплексных чисел. Другими словами, будем рассматривать вопрос о решении уравнения zⁿ = 1, где n Î N в поле комплексных чисел. Например, корень квадратный из числа 1 имеет два значения: 1 и – 1. Действительно, 1² = 1 и (– 1)² = 1. Корень четвертой степени из числа 1 в поле комплексных чисел имеет четыре значения: два действительных, 1 и – 1, и два мнимых, i и – i. Этот факт можно установить проверкой: 1⁴ = 1 и (– 1)⁴ = 1; i⁴ = 1 и (– i)⁴ = 1.

Эти два примера наводят на предположение о том, что корень кубический из 1 в поле комплексных чисел должен иметь 3 значения; корень пятой степени из 1 должен иметь пять значений и т.д. Корень n-й степени из числа 1 в поле комплексных чисел должен иметь n значений.

Это предположение оказывается верным. Воспользовавшись формулой Муавра, можно доказать, что уравнение zⁿ = 1 в поле комплексных чисел имеет ровно n решений, т. е. корень n-й степени из числа z в поле комплексных чисел имеет ровно n значений. Эти значения корня изображаются вершинами правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, причем точка (0; 1) является одной из вершин этого многоугольника.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:

,

.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть , тогда:

,

.

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

является частным случаем формулы Эйлера при .

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: .

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: , . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа в степень его расстояние до центра возводится в степень , а угол поворота относительно оси увеличивается в раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых , но и для вещественных. В частности, комплексная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа, что и используется при доказательстве основной теоремы алгебры: «Многочлен степени имеет ровно комплексных корней».