Условие параллельности вектора и плоскости. Исследование общего уравнения плоскости. Геометрический смысл знака трехчлена.

1)Даны: Ax+By+Cz+D=0 и . B= C= . Пусть Р , тогда Р компланарен с , и , то есть =0; ; . . Для того, чтобы была параллельность плоскости надо, чтобы относительно декартовой системе координат (4); ; . Уравнение плоскости: Если вектор имеет координаты , то получим этот вектор не параллелен плоскости. 2)Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0, где . Частные случаи общего уравнения плоскости: 1. Если D = 0, то плоскости удовлетворяет точка О(0;0;0). Плос­кость проходит через начало координат. 2. Если С = 0, то имеем уравнение Ax+By+D=0. Нормальный вектор , перпендикулярен оси Οz. Плоскость параллельна оси Οz; если B = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 — параллельна оси Ох. 3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через О(0;0;0) параллельно оси Οz, т. е. плоскость Ax+By=0 проходит через ось Οz. Аналогично, уравнениям By+Cz=0 и Ax+ Cz=0 отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу. 4. Если А = В = 0, то плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям Ax=D=0 и By+D=0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Οxz.. 5. Если A = B = D = 0, то уравнение примет вид Сz=0, т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Οxz; x = О — уравнение плоскости Oyz.. 3) P(x y z)= Ax+By+Cz+D.

Плоскость П разделяет пространство на 2 полупространства. Пусть , . Возьмем М, так, что и продолжим его до пересечения с плоскостью , тогда можно Записать как , . - если одинаково направлены, - если противоположно направлены