Определители n-ого порядка. Теорема о знаке члена определителя.

Понятие определителя. Рассмотрим произвольную квадрат­ную матрицу любого порядка п:

С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. Если порядок п матрицы равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента а₁₁ и определителем первого порядка, соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента. Если далее порядок п матрицы равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид , то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а₁₁а₂₂-а₁₂а₂₁ и обозначаемое одним из символов Итак, по определению

Договоримся называть минором любого элемента a_ij матрицы n-го порядка определитель порядка п-1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы А в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Определителем порядка п, соответствующим матрице А, назовем число, равное обозначаемое символом

Итак, по определению,

Теорема о знаке члена определителя.

Знак члена определителя a_i1j1, a_i1j1,… a_injn совпадает со знаком (-1)^s+t, где S-число инверсий в перестановке i_1,i₂,…i_n t-число инверсий в перестановке j_1,j₂,…j_n индексов столбцов.

 

 

40.Свойства определителей. 1°) Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы А получается матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице А и обозначаемая символом А'.при транспо­нировании величина определителя сохраняется, т. е. \А'\ = \А\. Это свойство непосредственно вытекает из теоремы о разложении определителя по j-тому столбцу (достаточно лишь заметить, что разложение определителя \А\ по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя \А'\ по первой строке).2°) Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух с т о л б ц о в). Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то он сохранит свою абсолютную величину, но сменит свой знак на противоположный.

Считая, что п > 2, рассмотрим теперь определитель n-го порядка и предположим, что в этом определителе меняются местами две строки с номерами i₁ u i₂ Записывая формулу Лапласа разложения по этим двум строкам, будем иметь

При перестановке местами строк с номерами i₁ u i₂ каждый опреде­литель второго порядка в силу доказанного выше меняет знак на противоположный, а все остальные величины, стоящие под знаком суммы, совсем не зависят от элементов строк с номерами i₁ и i₂ и сохраняют свое значение. Тем самым свойство 2°) доказано.

3°) Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка (а₁, а₂,…а_n) является линейной комбинацией строк (b₁, b₂,…b_n), (c₁, c₂,…c_n),… (d₁, d₂,…d_n) с коэффици­ентами если для всех j = 1, 2,..., п. Для доказательства разложим каждый из трех определителейпо i-й строке и заметим, что у всех трех определителей все миноры элементов i-й строки одинаковы. Но отсюда следует, что формула сразу вытекает из равенств для всех j = 1, 2,..., п. Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель А не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2°) изменит знак на противоположный. Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число . Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. (В самом деле, в силу следствия 2, множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1).

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некото­рого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель А, то величина определителя не изменится.

4°) Свойство алгебраических дополнений соседних строк (или столбцов). Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответ­ствующие алгебраические дополнения элементов любой другой стро­ки (любого другого столбца) равна нулю.

Доказательство проведем для строк (для столбцов оно проводится аналогично).

поскольку алгебраические дополнения не зависят от элементов i-й строки ,то соответствующее равенство является тождеством относительно и сохраняется при замене чисел любыми другими п числами. Заменив соответствующими элементами любой (отличной от i-й) k-й строки , мы получим слева определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно следствию 1. Таким образом, (для любых несовпадающих i u k).

 

41. Теорема Лапласа. Дан определитель n-ого порядка, в нем зафиксировано k-строк 1 тогда det =сумме произведений всевозможных миноров k-го порядка.. det= ; ; Рассмотрим частный случай к=1; ;. Следствие 1. ; Следствие 2. Пусть Сумма произведений чисел на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-ой строки, определитель равен новому определителю , получающегося из данного дельта заменой i-ой строки на . = = . Следствие 3. Сумма произведений всех элементов некоторой строки det алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки равна нулю.

42. Правило Крамера. Число уравнений равно числу независимых.

(2)

Ни одно из уравнений не является линейной комбинацией другой строки или столбца. Определитель не равен нулю.. Теорема. Система из n уравнений с n независимыми переменными вида (2) в случае

(. -определитель системы линейных уравнений. -определитель матрицы, получаемой системой матрицы, имеет вид

=

Док-во: возьмём расширенную матрицу А^* припишем сверху произвольную её строку

det ……………………. =0

Тогда получим (если разложим верхнюю строку). А^* =0. M_i –определитель матрицы, получается при вычеркивании i-ого столбца.. . . .. . Набор чисел удовлетворяет уравнению j-му. Уравнение удовлетворяет всем уравнениям системы, т.е. x_i -решение уравнения системы. (*)

Доказательство единственности:

Пусть существуют 2 решения

(, тогда

+…+

(**)

Имеет вид (3)

43. Базисный минор. В матрице А размером (m*n) минор порядка r называется базисным, если он отличен т нуля и все минор r+1 порядка =0 или он не существует. r=min(m,n). Очевидно, что базисные миноры имеют один и тот же порядок. Столбцы и строки, на пересечении которых расположен базисный минор, называется базисными столбцами и строками. Рангом матрицы А называется порядок базисного минора, или самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Ранг матрицы А обозначается так: RgA=r. Для нахождения ранга матрицы применяются элементарные преобразования: 1.Умножение строки на число ; 2. Прибавление к строке другой строки; 3. Перестановка строк; 4. Те же самые преобразования для столбцов. Предложение 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Предложение 2. Элементарные преобразования строк расширенной матрицы соответствуют преобразованию линейных уравнений в эквивалентную систему.

Приведение матрицы А к упрощенному виду. Матрица А (m*n) несколько первых столбцов могут оказаться ненулевыми, состоящими из одних нулей. Существует номер первого столбца, не содержащего ноль, если такого нет, то ранг=0, нет базисного минора. Пусть ненулевой элемент. Обозначим, элемент преобразования и переставим первую строку на первое место. =1, все остальные элементы обратим в ноль, т. е. матрица А имеет вид:

= , где . Существует -номер столбца, содержащий ненулевой элемент в последней n-1 строке. Произведем в такие же преобразования как и в , получим:. . Продолжим наши преобразования до тех пор, что последняя m-r строк будут состоять из нулей. Предложение 3. При помощи элементарных преобразований строк каждую матрицу размером m*n можно привести можно привести к виду: некоторые r столбцы являются единичными матрицами порядка m, если m-r строк состоят из нулей.

________ _ - упрощенный вид

Ранг матрицы = r, то минор упрощенного вида принмает ранее описанный вид. Приведение к упрощенному виду за счет преобразования строк называется методом Гаусса.. Следствие. Любую квадратную матрицу с ненулевым определтелем, при помощи элемнтарных преобразований, можно превратить в единичную матрицу. Пусть матрица А (m*n), каков бы не был минор при n преобразовании строк матрицы А можем превратить в столбцы единчной матрицы. Rg=r<m, то последнее m-r будут ненулевыми строками. Теорема о базисном миноре. Каждый столбец произвольной матрицы А является линейной комбинацией столбцов, в которых расположен базисный минор. Док-во: (2)соответстующие и связывающие столбцы матрицы не меняются при линейных преобразованиях. (2)-система линейных уравнений. Элементарн. преобр-ния не меняют множ-во её решений, т.е. столбцы матрицы будут удолетворять (2). С простейшими элементарными преобр-ниями столбцы переводят в единичные элементы.

Для преобразования матрицы справедлвость теормы очевидно. Для первичной матрицы тетекают те же самые залючения.. Следствие. Каждая строка матрицы есть линейная комбинация строк, в которых расположен базисный минор.

 

44. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема:Для того чтобы линейна система

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b_1,

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b_2,

…………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m. (1)

являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

(2)

 

До-во: 1)Необходимость. Пусть система (1) совместна, т.е. существуют такие числа с_1,с_2,…с_n, что справедливы равенства:

a₁₁c₁+a₁₂c₂+…+a_1nc_n=b_1,

a₂₁c₁+a₂₂c₂+…+a_2nc_n=b_2,

……………………….............

a_m1c₁+a_m2c₂+…+a_mnc_n=b_m. (3)

Т.е. столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора. Поэтому добовление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, т.е. RgA₁=RgA. 2) Достаточность. Если RgA₁=RgA, то любой базисный минор матрицы А является и базисным минором расширенной матрицы. Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А. Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации с_1,с_2,…с_n, то эти числа будут решением системы (1), т.е. эта система совместна. Теорема доказана.

 

45.Нахождение решений системы уравнений. Пусть дана совместная система: r- ранг системы: RgA=r, RgA^*= r. Можем выбрать базисный минор расширенной матрицы так, чтобы он был расположен в основной матрице системы. Применяя элементарные преобразования, расширенню матрицу приведем к упрощенному виду. Тогда она перейдет к эквивалентному виду из r линейно-независимых уравнений. Предполагая, что базисный минор расположен в первых r столбцах.

)

………………………………………………………. (6)

-элементы преобразованной расширенной матрицы.

В правой части-неизвестные, соответствующие столбцам выбранного базисного минора(неизвестые называются базисными), все остальные: -параметрические неизвестные. Вместе образуют решение системы (6). Опишим ещё один способ. Составим однородную систему уравнений с коэфициентами:

 

…………………………………… (7)

Предложение 1. Если - решение системы, то -также решение системы тогда и только тогда, когда найдется решение приведенной системы , т.ч. , для Док-во: Пусть - столбцы мат. А, – столбец свободных членов, - частное решение

(8) Пусть - решне приведенной системы, т.е. имеет место равенство (9) Складывая равенства (8) и (9) получим

. Т.е. числа ( - удовлетворяют системе (1). Пусть () - решение (1), тогда имеет место . Вычитая из (9) –(7) имеем

-уравнение удовлетворяет системе (7). Терема доказана