Корни многочлена. Основная теорема алгебры.

Если задан f(x) = a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n И если, f(x) при некотором с равно нулю, то с наз-ся корнем многочлена и яв-ся решением уравнения f(x)=0 Если f(x) будем делить на многочлен первой степени, то остаток будет многочленом первой степени, если будем делить на ноль - многочленом нулевой степени. Остаток от деления многочлена f(x) на линейный множитель х-с равен значению f(c). F(x) =(x-c)q(x)+r f(c)=r. число с на-ся корнем многочлена уравнения f(x), если f(x) (х-с). Пусть с -корень г(х).Если с яв-ся корнем, то мы получаем, что при подстановке (х-с)=0 то F(x)=(x-c)q(x)+r=0; r=0; f(x)=(x-c)q(x); f(x) (ax+b)—>f(x) (x-(- )) обозначим- = с. F(x) (х-с). To есть фактически задача разыскания корней многочлена равносильна нахождению линейных множителей. Теорема Горнера:

F(x)=(x-c)q(x)+r (2); f(x) =b ₀x^n-1+b₁x^n-2+…+b_n-1 (3) Будем сравнивать коэффициенты при равных степенях: a₀=b₀; a₁=b₁-cb₀; a₂=b₂-cb₁; b₀=a₀;b₁=a₁+cb₀; b_k=a_k+cb_k-1; k=1,2,…,n-1;a_n=r-cb_n-1;r=a_n+cb_n-1

Теорема: всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень к-ого не меньше 1имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный α₁-корень; f(x)=(x- α₁)φ(x); f(x)=(x- α₁)(x- α₂) φ(x); f(x)=(x- α₁)(x- α₂) (x- α₃)… (x- α_n)

f(x) степени n≥1 с любыми числовыми коэфф. uмеет n корней, если каждый корень имеет столько раз какова его кратность. Формула Виета. f(x) = a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n =(x- α₁)(x- α₂) (x- α₃)… (x- α_n); α₁= - (α1 + α2+…+ α_n); α₂= α₁ α₂+…+ α_n-1 α_n; α_n= (-1)ⁿ(α₁ α₂+…+ α_n); x³+px²+qx+r=0, x₁+x₂+x₃=-p; x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=q;x₁x₂x₃= - r.

 

37. Матрица. Понятие матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n – ее порядком. Для краткого обозначения матрицы используется либо одна большая латинская буква, например А, либо символ . Числа , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j-номер столбца.

В случае квадратной матрицы

вводятся понятия главной и побочной диагонали. Главной диагональю матрицы называется диагональ a₁₁ a₂₂…a_nn, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а_п1а_(п-1)2…, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. Основные операции над матрицами и их свойства. Две матрицы равны, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

a) Сложение матриц. Суммой двух матриц одних и тех же порядков m и n называется матрица тех же порядков m и n, элементы которой равны . Для обозначения суммы двух матриц используется запись С=А+В. Свойства операции сложения: 1) переместительное свойство А+В=В+А; 2) сочетательное свойство: (А+В)+С=А+(В+С).

b) Умножение матриц на число. Произведением матрицы на вещественное число называется матрица , элементы которой равны

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись или . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Свойства операции умножения:

1) сочетательным свойством относительно числового множителя:

2) распределительным свойством относительно суммы матриц:

3) распределительным свойством относительно суммы чисел:

Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = А — В.

c) Перемножение матриц. Произведением матрицы , имеющей порядки, соответственно равные m и n, на матрицу , имеющие порядки, соответственно равные n и p, называется матрица , имеющая порядки соответственно равные m и p, и элементы , определяемые формулой

Это правило можно сформулировать и словесно: элемент , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы С = А * В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В. Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись С = А*В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В. Свойства произведения матриц:

1) сочетательное свойство: (АВ)С = А(ВС);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (А + В)С = АС + ВС или А(В + С) = АВ + АС.

38. Линейная зависимость/независимость столбцов/строк. Определение. Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу). В противном случае строки (столбцы) называются линейно независимыми. Замечание. Можно доказать, что необходимым и достаточным условием линейной зависимости строк матрицы является то, что одна из них является линейной комбинацией остальных. Теорема. Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

Доказательство (для строк). 1. Если бы базисные строки были линейно зависимыми, то с помощью эквивалентных преобразований из них можно было бы получить нулевую строку, что противоречит условию, что базисный минор не равен 0.2. Строка, входящая в базисный минор, является линейной комбинацией его строк, в которой коэффициент при данной строке равен 1, а остальные коэффициенты равны 0. Докажем это свойство для строки, не входящей в базисный минор.

Добавим к базисному минору эту строку (пусть ее номер – k) и любой столбец матрицы (пусть его номер – j). Затем разложим полученный определитель, равный 0 (так как его порядок больше ранга матрицы) по j-му столбцу:

Поскольку является базисным минором, поэтому, разделив полученное равенство на , найдем, что

для всех j=1,2,…,n, где . Следовательно, выбранная строка является линейной комбинацией базисных строк. Теорема доказана. Если в системе векторов часть линейно зависима, то вся система обязательно линейно зависима. 1) Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.. В самом деле, пусть векторы линейно зависимы. Тогда , и среди чисел есть не равные нулю. Пусть, для определенности, не равно нулю первое число . В этом случае мы имеем право записать: . Но это означает, что векторы лежат в одной плоскости, если, конечно, их перенести к одному началу. Следовательно, векторы компланарны. С другой стороны, если векторы компланарны, то можно считать, что они лежат в одной плоскости. Здесь возможны варианты, которые мы рассмотрим по отдельности. Вариант 1. Один из векторов является нулевым вектором. Пусть, для определенности, это будет первый вектор. В этом случае мы можем записать: Вариант 2. Среди векторов нет нулевых векторов, но есть коллинеарные. Пусть, для определенности, коллинеарными являются первые два вектора. Но в этом случае, первый вектор может быть выражен через второй: , и, следовательно, . Вариант 3. Среди векторов нет нулевых векторов, и все векторы не являются попарно коллинеарными. В этом случае все векторы могут быть перенесены в одну плоскость, и любой из них может быть разложен по остальным как по векторам базиса. Следовательно, , и мы снова получаем, что: . 2) Любые четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы. Здесь также возможны два варианта. Вариант 1. Какие либо три вектора являются компланарными. Пусть, для определенности, этими векторами будут первые три. В этом случае мы можем подобрать не все равные нулю числа так, что . Но тогда. Вариант 2. Любые три вектора не являются компланарными. В этом случае любой из четырех векторов может быть разложен по остальным трем как по базису , и мы можем записать, чт . Следовательно, в обоих возможных случаях четыре вектора являются линейно зависимыми. Мы также показали, что в плоскости любые три вектора являются линейно зависимыми, в то же время в плоскости всегда можно найти два линейно независимых вектора, так как для этого достаточно, чтобы они не были коллинеарные.