Решение однородной системы уравнений. Общее решение системы уравнений.

(0,0,….,0)- для неё справедливо

……………………………………………….. (5`)

Свойства множества решений однородной системы уравнений выражены в предложениях. Предложение 1. Если столбцы –решения однородной системы, то их сумма удовлетворяет решение. Произведение решения на любое число тоже будет решением.

-решение.

, где

Предожение 2.

Если ранг матрицы однородной системы =r, то система имеет (n-r) –линейно-независимое решений.

Придадим параметрические неизвестные (n-r) значений, т.е.

……………………………………………

 

= = (10)

(10)-нормальная фундаментальная система решени. Любая система из (n-r) –линейно-независимых решений называется фундаментальным решением системы.Предложение 5. Пусть ( -произвольное фундаментальное решение однородной системы, тогда любое решение x представляет собой линейную комбинацию решений (. Док-во: составим матрицу X, столбцы которой являются решением X=(, т.к. в ней есть лиейно-независимые столбцы. Rg (n-r), т.к. в ней есть (n-r) линейно-независимый столбцов, или Rg (n-r), т.к. выржается через параметрические неизвестные, причем коэффициент одинаковый для каждого столбца. фундаментальая система решений однородной системы

x= (11), т.е.

= +…+ (11)

Это решение(каковыми бы не были числа ) столбец x определяется (11) и является решением.

 

47.Произведение матриц. Обратная матрица. Пусть a=()= ; b= ; a*b-назвается число суммы произведений с одинаковыми номерами. Пусть матрица А (m*n) и матрица В (n*p).Матрица такова, что длина строки=высоте столбца. Умножим каждую строку a на каждый столбец b. Получим m*p произведение. Запишем мат. С (m*p), каждый столбец мат. С состоит произведений строк a на b. Любая строка С состоит из произведения строк a на имеющий один и тот же номер на любой b. , где i=1,…m, 1,…p. (1)Определение. Матрица С, которая выражается через элементы мат. А и В по формуле(1) назовем произведением Аи В и обозначается А*В.

Предложение 1. j- столбец мат. А*В, есть лин. комбинация столбца мат. А с коэффициентами j-го столбца мат. В. i-строк мат. А*В, есть лин. комбинация строк мат. В с коэффициентами i-ой строки мат. А. Обозначим А(, B( и С(. Отметим, что столбцы мат. А и А*В имеют одинаковую высоту, поскольку для получения последовательно умножается строки А на

Свойства умножения матрицы: А*В≠В*А-некоммуникативно, если же А*В=В*А- матрицы называюся перестановочными.

Свойства операций: Предложение 2.-умножение матриц ассоциативно, т.е. если определены А*В и (А*В)*С, то определены В*С и А*(В*С); (А*В)*С=А*(В*С)

Предложение 3. -умножене матриц дистрибутивно, если А*(В+С)-имеет смысл. А*(В+С)=А*В+А*С;(А+В)*С=А*С+В*С. Если произведение матриц А*В имеет смысл, то Предложение 4. Ранг произведение матриц не превосходит ранга сомножетелей. Rg(A*B) ≤RgA; Rg(A*B)≤ RgB; D=(A\A*B), очевидно, что Rg(A*B) ≤RgD. Предложение 5. Если определено произведение матриц А*В, то определено и произведение В^Т*А^Т; (А*В)^Т=В^Т*А^Т

Следствие. (А*В*С)^Т=А^Т*В^Т*С^Т; Док-во: (А*В)^Т= С^Т*(А*В)^Т= А^Т*В^Т*С^Т. Доказано.

Обратная матрица. Матрица X, удовлетворяющая вместе с матрицей А условие X*A=A*X= , где -единичная матрица некоторого порядка n. Поскольку А и А^-1-перестановочные, то ои должны быть квадратными матрицами порядка n.Из предложения 2 следует, что Rg , RgA=n.Поэтому А имет обратную матрицу, тогда когда её определитель не равен 0. Это необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы и только одну. Для каждой мат. А, где АX=E, при , должен удовлетворять условию, ;

(4)

………………………………………

По правилу Крамера определиель этой системы отличен от нуля и система имеет одно решение. Отсюда следует, что каждый столбец системы определен единственным образом. Существует матрица Y, где X*Y=E; AX*Y=AE; EY=AE; Y=A. Этот способ позволяет найти обратную матрицу.

, где -детерминант.

(5)-формула для вычисления обратной матрицы.;A*X=E;X=E*A^-1;(A^-1)^-1=A (6);(AB)^-1=B^-1A^-1(7)

(A^T)^-1=(A^-1)^T(8)

 

48. Элементарные преобразования матриц. Каждое элементарное преобразование строк матрицы А размером (m*n)равносильно умножению матрицы А на некоторую квадратную матрицу слева размером m.Рассмотрим матрицу S₁ которая получается из Е_п перестановкой i-ой и j-ой строки. S₂ —матрица, получаемая из единичной матрицы (единицы заменяем на α ). Из предложения 1 следует, что при умножении А на S₂ слева i строка умножается на а.S₂A = αА; Обозначим через S₃

S₃(A)=A; Заметим, что ||S₁||=-1; ||S₂||=α;||S₃||=||A|| Для матрицы элементарных преобразований имеем det|SA| = detS * detA

Предложение. Для любых квадратных матриц А и В одного порядка ||A*B||=||A||*||B||. Если det А=0, то из утверждения вытекает, что ||A*B|| = 0 -из оценки ранга матрицы. Если detA ≠0, то существует А^-1. А^-1 может быть превращена в единичную матрицу при помощи элементарных преобразований. S₁ *... * SpA^-1 = E; S₁ *... * Sp = EA = A; ||A*B|| = ||S₁*S₂*...*S_p|*B|=|S₁|*|S₂|*...*|S_p|*|B| = ||A||*||B||

 

 

49. Элементарные преобразования как умножение матриц. Пусть даны две прямоугольные матрицы A и B размерности и соответственно:

Тогда, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, то есть n = p, то определена матрица C размерностью называемая их произведением: где: Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка. Следует заметить, что из существования произведения AB вовсе не следует существование произведения BA.

Свойства:Сочетательное свойство: Распределительное свойство: Произведение матрицы на единичную матрицу Е подходящего порядка равно самой матрице Произведение матрицы на нулевую матрицу 0 подходящей размерности равно нулевой матрице: Если А и В — квадратные одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств. Умножение матриц в целом некоммутативно: Если , то матрицы А и В называются перестановочными или коммутирующими между собой. Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:

 

50. определитель произведения матриц. Для любых двух квадратных матриц одного порядка Док-во. Пусть матрица А невырождена. Разложим ее в произведение элементарных матриц. Тогда .последовательно применяя формулу , получим теперь из формулы следует утверждение. Если матрица А вырождена,то по предложению(если хоть одна из матриц А и В вырождена, то произведение АВ-вырожденная матрица)произведение АВ также вырождена и detАВ равен нулю так же,как и detA detB