Задание 6 – Исследование робастности полученной ЗС методом В.Л.Харитонова

 

Чтобы интервальный характеристический полином был гурвицевым, необходимо и достаточно, чтобы были гурвицевыми четыре его угловые версии.

 

Интервальная матрица состояния спроектированной ЗС имеет вид:

 

 

 

Матрица имеет интервальный характеристический полином (ИХП)

 

,

где , ,

 

Полиномы В.Л.Харитонова в этом случае записываются в форме:

 

 

В силу положительности коэффициентов, все полиномы Л.В.Харитонова являются гурвицевыми, а, следовательно, гурвицевым является и ИХП . А это, по теореме В.Л.Харитонова, означает, что полученная в пункте 5 замкнутая система устойчива.

 

 

Задание 7 – Синтез параметрически инвариантной системы

 

1. Зададим ВМО ВСВ НОУ в каноническом управляемом базисе:

,

 

граничные (угловые) значения:

 

2. Построение факторизованного представления матричного компонента :

 

 

где каждый матричный компонент полной вариации удовлетворяет условию

и представим в виде

 

, с максимальным значением , равным числу ненулевых элементов .

 

Подставив в уравнения системы, получим:

 

,

 

Введем новые обозначения:

 

– внешнее параметрическое воздействие

 

 

Подставим введенные обозначения в уравнения системы:

 

 

3. Сформируем требования к качеству процессов по выходным переменным в переходном и установившемся режимах при задающем внешнем воздействии r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> номинальной версии проектируемой системы

,

 

где ,

 

выход инвариантен относительно , так что выполняются соотношения

 

 

Представим сформированные требования в виде желаемой структуры мод , где

 

 

Определяем свободные параметры условия принадлежности:

откуда следует, что , а .

 

Таким образом спектр собственных чисел матрицы примет вид:

 

Проверка условия принадлежности к ядру матрицы:

 

 

Проверим выполнение условия . Так как условие выполняется, можно решить полную задачу обобщенного модального управления.

 

4. Решение уравнений Сильвестра

 

Сконструируем матрицу отрицательной обратной связи методом обобщенного модального управления, опирающегося на решение матричного уравнения Сильвестра:

 

,

 

где

 

Уравнение Сильвестра в силу специфики задачи представим в факторизованном по алгебраическому и геометрическому спектрам матрицы виде:

 

 

Представим это выражение в виде двух уравнений Сильвестра:

,

,

 

где

 

Найдем решение этих уравнений относительно матриц и соответственно:

 

 

 

5. Вычислим матрицу отрицательной обратной связи :

 

 

 

6. Сконструируем матрицу прямой связи по внешнему задающему воздействию r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> :

 

 

Построим реализационную версию закона управления в виде

 

,

где

 

Проведём проверку эффективности спроектированного неадаптивного закона управления на предмет удовлетворения техническим требованиям показателей качества по выходу и ошибке номинальной версии системы, а также наличие у системы параметрической инвариантности.

 

 

 

Рисунок 7.1 – Схема моделирования номинальной системы .

 

Рисунок 7.2 – Схема моделирования возмущенной системы .

 

Рисунок 7.3 – Схема моделирования возмущенной системы .

ymin

ymax

yн

 

Рис. 7.2. Графики переходных процессов в номинальной и возмущенной системах/

 

отклонение при минимальном значении варьируемых параметров от номинального значения составляет 0.049%.

отклонение при максимальном значении варьируемых параметров от номинального значения составляет 0.121%.

Заключение

В данной работе было проведено исследование параметрической чувствительности объектов и систем, и осуществлен синтез не адаптивного алгоритма обеспечивающего необходимую робастность динамических показателей системы. В частности, была построена модель траекторной чувствительности НОУ, параметры q_j проранжированы с использованием матрицы управляемости агрегированной системы. Осуществлено исследование модели траекторной чувствительности дискретного объекта к вариации интервала дискретности.

Построена МТЧ непрерывной замкнутой системы и синтезирован закон управления доставляющей системе желаемые динамические и точностные свойства. Оценены наиболее и наименее благоприятные распределения параметров. Произведен синтез замкнутой системы заданной интервальными элементами методом модального управления. И проведено исследование робастности системы методом В.Л.Харитонова. Также был синтезирован закон управления, обеспечивающий системе помимо желаемых точностных и динамических показателей параметрическую инвариантность выходной переменной.

 

Список литературы

1. Дударенко Н.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: учебное пособие. / Под ред. Ушакова А.В. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. – 323 с.

2. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности. – СПб.: СПб ГИТМО (ТУ), 2010.

 

3. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. – СПб.: Наука, 2003.