Студопедия — Лабораторная работа №1
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Лабораторная работа №1






Лабораторная работа №1

ЗНАКОВЫЕ ОРГРАФЫ.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

1. В ЗО от вершины U к V проводится дуга, если изменение U оказывает непосредственное существенное воздействие на V. Эта дуга имеет знак (+), если воздействие является «усилением» (при прочих равных условиях увеличение U приводит к увеличению V) и знак (-), если воздействие вызывает «торможение» (при прочих равных условиях увеличение U приводит к уменьшению V и уменьшение U приводит к увеличению V).

2. Всякий ЗО можно представить целочисленно-взвешенным орграфом с весами W(U,V)=1, если дуга (U,V) имеет знак (+) и W(U,V)= -1, если дуга (U,V) имеет знак (–).

3. Знак пути (замкнутого пути, контура и т.д.)- есть произведение знаков его дуг, если в произведении знак (+) заменяется на +1, знак (-) на –1. В пути, контуры, полупути могут входить и петли.

Для структурного анализа ЗО удобно перейти от ЗО к обычным орграфам и использовать матричный аппарат.

Матрица смежности

i, jÎ{1, 2, …n}

n- число вершин орграфа

Матрица достижимости

 

СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР. СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Пусть - квадратная матрица действительных чисел. Ненулевой n-мерный вектор вектор-строка называется собственным (характеристическим) вектором, если для некоторого скалярного l выполняется соотношение .

Число l называется собственным значением, соответствующим вектору и может принимать как действительное, так и комплексное значение.

Например:

 

,

значит - собственный вектор для M с собственным значением l.

В линейной алгебре доказано, что l является собственным значением матрицы тогда и только тогда, когда

det½M-lI½=0 (1)

Определитель det равен сумме произведений по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое входит с соответствующим знаком. В результате получается выражение, являющееся многочленом по l.

Многочлен по l называется характеристическим многочленом матрицы M[n] и обозначается как C(l).

Доказано, что собственные значения матрицы M[n] в точности совпадают с корнями характеристического многочлена, т.е. являются такими числами l, которые удовлетворяют уравнению:

C (l)=0 (2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением матрицы M[n].

Если некоторое собственное значение оказывается кратным корнем для C(l), то количество одинаковых собственных значений совпадают с его кратностью.

Если M[n] – диагональная матрица, то собственные значения такой матрицы совпадают с ее диагональными элементами.

Если M[n] – одноэлементная матрица, т.е. M = t, тогда C(l)=t- l и поэтому является единственным собственным значением.

Если матрицу M[n] рассматривать как матрицу смежности A[n], то матрице будет соответствовать некоторый ВО или ЗО. Тогда собственные значения матрицы A[n] будут собственными значениями ВО или ЗО.

Отметим, что собственные значения ВО или ЗО могут использоваться для оценивания устойчивости моделей, задаваемых такими орграфами, при воздействии на такие модели в дискретные моменты времени t=0,1,2,… неких возмущающих факторов.

Пример.

 
 

Рассмотрим ВО D = (V, A) на рис.1

Рис.1 D = (V, A)

Матрица смежности ВО:

Из уравнения C(l) = 0 следует, что собственные значения ВО равны 1, 4, -4.

Далее найдем собственный вектор, соответствующий, например, собственному значению l = 4. Предположим, что U[3](1) = <r1, r1, r1> и такой вектор существует.

Тогда , т.е.

 

 

 

Т.е. получим 3 уравнения:

Решениями этих уравнений будут все векторы, записываемые в виде .

Т.к. собственный вектор по определению ненулевой, то x должен быть отличен от нуля. Таким образом, собственные вектора, соответствующие l=4, представимы в виде всевозможных произведений вектора на числа, отличные от нуля.

Аналогично можно показать, что собственные векторы, соответствующие собственным значениям –4 и 1, получаются путем умножения на произвольные ненулевые числа соответственно векторов и .

 

Существует теорема о собственных значениях ВО, позволяющая свести к аналогичной задаче для меньших подграфов (теорема не приводится).

Отметим, что характеристический многочлен матрицы смежности ВО равен произведению характеристических многочленов матриц смежности его сильных компонент.

Пример.

 
 


 

 

Рис. D = (V, A)

 

Сильные компоненты:

Собственные значения сильных компонент:

K1:

K2: ,

l={8}

K3: ,

Матрица смежности A[5] имеет собственные значения ; 8; .

Характеристический многочлен ВО на рис.2:

 







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 1414. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

ТЕХНИКА ПОСЕВА, МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ЧИСТЫХ КУЛЬТУР И КУЛЬТУРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МИКРООРГАНИЗМОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА БАКТЕРИЙ Цель занятия. Освоить технику посева микроорганизмов на плотные и жидкие питательные среды и методы выделения чис­тых бактериальных культур. Ознакомить студентов с основными культуральными характеристиками микроорганизмов и методами определения...

САНИТАРНО-МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОДЫ, ВОЗДУХА И ПОЧВЫ Цель занятия.Ознакомить студентов с основными методами и показателями...

Меры безопасности при обращении с оружием и боеприпасами 64. Получение (сдача) оружия и боеприпасов для проведения стрельб осуществляется в установленном порядке[1]. 65. Безопасность при проведении стрельб обеспечивается...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия