Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Трапеция. Средняя линия трапеции. Признаки и свойства равнобедренной трапеции.




Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – непараллельны. При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные – боковыми сторонами.

Замечание: Сумма двух углов трапеции, прилежащих к ее боковой стороне, равна 180°, поскольку они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых (основаниях трапеции) и секущей.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к прямой, содержащей противолежащее основание (на рисунке 17 AD и BC – основания; AB и CD – боковые стороны, BH – высота трапеции ABCD).

Замечание: Высота трапеции равна расстоянию между ее основаниями.

Трапеция называется прямоугольной (сокращенно – п/у трапеция), если один из ее углов прямой (рисунок 18).

Замечание: В прямоугольной трапеции два прямых угла, а одна из боковых сторон является высотой.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если равны ее боковые стороны (сокращенно – р/б трапеция) (рисунок 19).

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 20 MN – средняя линия трапеции ABCD).

 

Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.


Дано:

ABCD – трапеция;

BCïêAD;

M – середина AB;

N – середина CD.

Доказать: MNïêAD;

.


Доказательство:

1. Проведем прямую BN: BNÇAD=Q.

2. DBCN=DQDN по стороне и прилежащим к ней углам (CN=ND, ÐCNBDNQ как вертикальные, ÐBCNQDN как внутр. н/л при BCïêAD и секущей CD), Þ BC=QD, BN=QN.

3. AM=MB, BN=QN, Þ MN – ср. л. DABQ, Þ по теореме о средней линии треугольника MNïêAQ, . #



Свойство равнобедренной трапеции: В равнобедренной трапеции равны углы при основаниях и диагонали (рисунок 21).


Дано:

ABCD – р/б трапеция;

BCïêAD.

Доказать: ÐAD; ÐBC;

AC=BD.


Доказательство:

1. Проведем CPïêAB: PÎAD.

2. CPïêAB, BCïêAP; Þ ABCP - п/г по определению; Þ AB=CP.

3. CD=AB=CP, Þ CD=CP; Þ DPCD - р/б; Þ по свойству углов при основании равнобедренного треугольника ÐCPDD.

4. ÐCPD и ÐA – соответственные при CPïêAB и секущей AD; Þ ÐCPDA.

5. Из пп. 3, 4 ÐACPDD; Þ ÐAD; ÐB=180°-ÐA=180°-ÐDC. Таким образом, равенство углов доказано.

6. DABD=DDCA по двум сторонам и углу между ними (AD – общая; AB=CD, ÐAD из п. 3); Þ AC=BD. #


Свойство высоты равнобедренной трапеции: Высота равнобедренной трапеции, проведенная к ее большему основанию, разбивает это основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме (рисунок 22).


Дано:

ABCD – р/б трапеция;

BCïêAD; BC<AD;

BH – высота.

Доказать: ;

.


Доказательство:

1. Проведем высоту CF.

2. DABH=DDCF по гипотенузе и острому углу (AB=CD по определению р/б трапеции; ÐAD по свойству р/б трапеции); Þ AH=FD.

3. HBCF – п/г по определению (BCïêHF по определению трапеции; BHïêCF, т.к. BH^AD^CF); Þ HF=BC.

4. AD=AH+HF+FD=AH+BC+AH=2AH+BC; Þ ;

5. . #

 


Определить, что трапеция является равнобедренной, позволяют следующие признаки:

· Признак равнобедренной трапеции по углам: Если в трапеции углы при основании равны, то она является равнобедренной (рисунок 23).


Дано:

ABCD – трапеция;

BCïêAD;

ÐAD.

Доказать: ABCD - р/б.


Доказательство:

1. Проведем BTïêCD: TÎAD.

2. ÐBTAD как соответственные при BTïêCD и секущей AD; Þ ÐBTADA; Þ DABT - р/б по признаку р/б D‑ка; Þ AB=BT.

3. BCïêAD, BTïêCD; Þ BTDC - п/г по определению; Þ BT=CD по свойству п/г.

4. AB=BT=CD; Þ AB=CD, Þ ABCD - р/б по определению. #

 


· Признак равнобедренной трапеции по диагоналям: Если в трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной (рисунок 24).


Дано:

ABCD – трапеция;

BCïêAD;

AC=BD.

Доказать: ABCD - р/б.


Доказательство:

1. Проведем CVïêBD: VÎAD.

2. BCïêAD, CVïêBD, Þ BCVD – п/г по определению, Þ CV=BD по свойству п/г.

3. CV=BD=AC; Þ CV=AC, Þ DACV - р/б по определению; Þ ÐCAVCVA по свойству р/б D-ка.

4. ÐCVABDA как соответственные при CVïêBD и секущей AV.

5. ÐCAVCVABDA; Þ ÐCAVBDA.

6. DABD=DDCA по двум сторонам и углу между ними (AD – общая, AC=BD по условию, ÐCADBDA); Þ AB=CD; Þ ABCD - р/б по определению. #


Замечание: Дополнительные построения, изображенные на рисунках 21-24, заслуживают пристального внимания, поскольку они часто используются в задачах о трапеции («сдвиг» боковых сторон, «раздвижение» диагоналей, проведение второй высоты в равнобедренной трапеции).







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 613. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия