Прямоугольник, ромб, квадрат.

Прямоугольником называется параллелограмм, все углы которого прямые (рисунок 25).

Замечание 1: Если в параллелограмме есть хотя бы один прямой угол, то все остальные его углы тоже прямые, а значит, параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Замечание 2: Если в четырехугольнике есть три прямых угла, то четвертый его угол также будет прямым, и стороны такого четырехугольника окажутся попарно параллельными. Поэтому четырехугольник, три угла которого прямые, также является прямоугольником.

Замечание 3: Поскольку прямоугольник является параллелограммом, он обладает всеми свойствами параллелограмма, т.е. противоположные стороны прямоугольника равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольник обладает также особым свойством:

Свойство диагоналей прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны (рисунок 26).

Дано:

ABCD – прямоугольник.

Доказать: AC = BD.

Доказательство:

1. D BAD =D CDA по двум катетам (AD – общий, AB = CD по свойству п/г), Þ BD = AC. #

 

 

Справедлива и обратная теорема:

Признак прямоугольника: Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником (рисунок 27).

Дано:

ABCD – п/г; AC = BD.

Доказать: ABCD - прямоугольник.

Доказательство:

1. D BAD =D CDA по трем сторонам (AD – общая, AB = CD по свойству п/г, AC = BD по условию), Ð A =Ð D.

2. Ð A +Ð D =180° как внутр. о/с при AB ïê CD и секущей AD; Þ Ð A =Ð D =180°:2=90°.

3. По свойству п/г Ð C =Ð A =90°, Ð B =Ð D =90°, Þ ABCD – прямоугольник по определению. #

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны (рисунок 28).

Замечание 1: Если у четырехугольника все стороны равны, то он является параллелограммом по признаку, а значит, является параллелограммом, все стороны которого равны. Таким образом, ромбом можно назвать четырехугольник, все стороны которого равны.

Замечание 2: Поскольку ромб является параллелограммом, он обладает всеми свойствами параллелограмма. В частности, у ромба попарно равны противоположные углы, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Помимо свойств параллелограмма, ромб обладает также особым свойством:

Свойство ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов (рисунок 28).

Дано:

ABCD – ромб.

Доказать: AC ^ BD;

AC – биссектриса углов A и C;

BD – биссектриса углов B и D.

Доказательство:

1. Обозначим O = AC Ç BD.

2. По определению ромба AB = AD, Þ D ABD – р/б.

3. По свойству п/г BO = OD, Þ AO – медиана D ABD, Þ по свойству медианы р/б D-ка AO – его биссектриса и высота. А значит, AC ^ BD, и AC – биссектриса угла A.

4. Аналогично доказывается, что AC – биссектриса угла C, а BD – биссектриса углов B и D. #

Замечание: Перпендикулярность диагоналей ромба используется при его изображении: рисуется два взаимно перпендикулярных отрезка, которые точкой пересечения делятся пополам, и последовательно соединяются четыре их конца (рисунок 29).

Определить, что параллелограмм является ромбом, позволяют следующие признаки:

· Признак ромба по взаимно перпендикулярным диагоналям: Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб (рисунок 29).

Дано:

ABCD – п/г;

AC ^ BD.

Доказать: ABCD – ромб.

Доказательство:

1. Обозначим O = AC Ç BD.

2. Поскольку ABCD – п/г, AO = OC по свойству диагоналей п/г.

3. BO – высота и медиана D ABC, Þ D ABC - р/б по признаку, Þ AB = BC.

4. По свойству противоположных сторон п/г AB = CD, BC = AD. Таким образом, CD = AB = BC = AD, то есть все стороны п/г ABCD равны, Þ ABCD – ромб. #

· Признак ромба по диагонали: Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм – ромб (рисунок 30).

Дано:

ABCD – п/г;

AC – биссектриса Ð A.

Доказать: ABCD – ромб.

Доказательство:

1. Обозначим O = AC Ç BD.

2. Поскольку ABCD – п/г, AO = OC по свойству диагоналей п/г.

3. AO – биссектриса и медиана D ABD, Þ D ABD - р/б по признаку, Þ AB = AD.

4. По свойству противоположных сторон п/г AB = CD, BC = AD. Таким образом, CD = AB = AD = BC, то есть все стороны п/г ABCD равны, Þ ABCD – ромб. #

 

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны (рисунок 31).

Замечание: Квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, поэтому сочетает в себе все их свойства. В частности, диагонали квадрата равны, точкой пересечения делятся пополам, взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов (рисунок 31).