Медиана прямоугольного треугольника.

Свойство медианы прямоугольного треугольника: Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (рисунок 32).

Дано:

D ABC - п/у;

Ð A =90°;

AM – медиана D ABC.

Доказать: AM = MB = MC.

Доказательство:

1. Отложим на луче AM отрезок MT = AM и соединим точки B, T и C (рисунок 32).

2. BM = MC по условию, AM = MT по построению, Þ ABTC - п/г по признаку. Но поскольку Ð A =90°, ABTC – прямоугольник.

3. По св-ву прямоугольника AT = BC, Þ AM = AT:2= BC:2= BM = MC. #

Замечание: Из свойства прямоугольного треугольника вытекает, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин.

Справедлива и обратная теорема:

Признак прямоугольного треугольника по медиане: Если медиана треугольника равна половине той стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный, причем медиана проведена из вершины прямого угла (рисунок 33).

Дано:

D ABC;

AM – медиана D ABC;

AM = BC /2.

Доказать: Ð A =90°.

Доказательство:

1. Отложим на луче AM отрезок MK = AM и соединим точки B, K и C (рисунок 33).

2. BM = MC по условию, AM = MK по построению, Þ ABKC - п/г по признаку.

3. BM = MC = AM = MK, Þ BC = AK, Þ ACKB – прямоугольник по признаку. Тогда по определению прямоугольника Ð A =90°. #

Замечание: Дополнительное построение, используемое при доказательстве последних двух теорем, является стандартным и называется «удлинением» или «удвоением» медианы. Смысл его заключается в «превращении» треугольника в параллелограмм. Этот прием часто используется в решении задач и заслуживает особого внимания.