Медиана прямоугольного треугольника.

Свойство медианы прямоугольного треугольника: Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (рисунок 32).

Дано:

DABC - п/у;

ÐA=90°;

AM – медиана DABC.

Доказать: AM=MB=MC.

Доказательство:

1. Отложим на луче AM отрезок MT=AM и соединим точки B, T и C (рисунок 32).

2. BM=MC по условию, AM=MT по построению, Þ ABTC - п/г по признаку. Но поскольку ÐA=90°, ABTC – прямоугольник.

3. По св-ву прямоугольника AT=BC, Þ AM=AT:2=BC:2=BM=MC. #

Замечание: Из свойства прямоугольного треугольника вытекает, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин.

Справедлива и обратная теорема:

Признак прямоугольного треугольника по медиане: Если медиана треугольника равна половине той стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный, причем медиана проведена из вершины прямого угла (рисунок 33).

Дано:

DABC;

AM – медиана DABC;

AM=BC/2.

Доказать: ÐA=90°.

Доказательство:

1. Отложим на луче AM отрезок MK=AM и соединим точки B, K и C (рисунок 33).

2. BM=MC по условию, AM=MK по построению, Þ ABKC - п/г по признаку.

3. BM=MC=AM=MK, Þ BC=AK, Þ ACKB – прямоугольник по признаку. Тогда по определению прямоугольника ÐA=90°. #

Замечание: Дополнительное построение, используемое при доказательстве последних двух теорем, является стандартным и называется «удлинением» или «удвоением» медианы. Смысл его заключается в «превращении» треугольника в параллелограмм. Этот прием часто используется в решении задач и заслуживает особого внимания.