Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Медиана прямоугольного треугольника.




Свойство медианы прямоугольного треугольника: Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (рисунок 32).


Дано:

DABC - п/у;

ÐA=90°;

AM – медиана DABC.

Доказать: AM=MB=MC.


Доказательство:

1. Отложим на луче AM отрезок MT=AM и соединим точки B, T и C (рисунок 32).

2. BM=MC по условию, AM=MT по построению, Þ ABTC - п/г по признаку. Но поскольку ÐA=90°, ABTC – прямоугольник.

3. По св-ву прямоугольника AT=BC, Þ AM=AT:2=BC:2=BM=MC. #


Замечание: Из свойства прямоугольного треугольника вытекает, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин.

Справедлива и обратная теорема:

Признак прямоугольного треугольника по медиане: Если медиана треугольника равна половине той стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный, причем медиана проведена из вершины прямого угла (рисунок 33).


Дано:

DABC;

AM – медиана DABC;

AM=BC/2.

Доказать: ÐA=90°.


Доказательство:

1. Отложим на луче AM отрезок MK=AM и соединим точки B, K и C (рисунок 33).

2. BM=MC по условию, AM=MK по построению, Þ ABKC - п/г по признаку.

3. BM=MC=AM=MK, Þ BC=AK, Þ ACKB – прямоугольник по признаку. Тогда по определению прямоугольника ÐA=90°. #


Замечание: Дополнительное построение, используемое при доказательстве последних двух теорем, является стандартным и называется «удлинением» или «удвоением» медианы. Смысл его заключается в «превращении» треугольника в параллелограмм. Этот прием часто используется в решении задач и заслуживает особого внимания.

 







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 738. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия