Параллелограмм, его свойства и признаки.

Параллелограммом (сокращенно – п/г) называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (рисунок 6):

.

Замечание: Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180°, поскольку они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из его вершины к прямой, содержащей одну из противолежащих сторон (на рисунке 6 CF и CH – высоты параллелограмма ABCD).

Замечание: Высота параллелограмма равна расстоянию между его противоположными сторонами (на рисунке 6 ; ).

Параллелограмм обладает следующими свойствами:

· Свойство противоположных сторон и углов параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны попарно равны, и противоположные углы попарно равны (рисунок 7).

Дано:

ABCD – п/г.

Доказать: AB = CD, BC = AD,

Ð A =Ð C, Ð B =Ð D.

Доказательство:

1. Проведем диагональ BD.

2. Ð ABD =Ð CDB как внутренние накрест лежащие (сокращенно – внутр. н/л) углы при параллельных прямых AB, CD и секущей BD.

3. Ð ADB =Ð CBD как внутр. н/л углы при AD ïê BC и секущей BD.

4. D ABD =D CDB по стороне и двум прилежащим к ней углам (BD – общая сторона, Ð ABD =Ð CDB, Ð ADB =Ð CBD); Þ AB = CD, AD = CB, Ð A =Ð C. Кроме того, Ð B =Ð ABD +Ð CBD =Ð CDB +Ð ADB =Ð D. #

 

· Свойство диагоналей параллелограмма: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (рисунок 8).

Дано:

ABCD – п / г;

AC Ç BD = O.

Доказать: AO = OC,

BO = OD.

Доказательство:

1. Ð ADB =Ð CBD как внутр. н/л углы при AD ïê BC и секущей BD;

2. Ð CAD =Ð ACB как внутр. н/л углы при AD ïê BC и секущей AC;

3. AD = BC по свойству противоположных сторон и углов параллелограмма.

4. D COB =D AOD по стороне и двум прилежащим к ней углам (BC = AD, Ð OCB =Ð OAD, Ð CBO =Ð ADO); Þ OB = OD, CO = AO. #

 

Оказывается, определить, что четырехугольник является параллелограммом, можно по следующим признакам параллелограмма:

· Признак параллелограмма по двум сторонам: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм (рисунок 9).

Дано:

ABCD – четырехугольник;

AB = CD; AB ïê CD.

Доказать: ABCD - п/г.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC.

2. AB ïê CD; Þ Ð BAC =Ð DCA как внутр. н/л углы при AB ïê CD и секущей AC;

3. D ABC= D CDA по двум сторонам и углу между ними (AC – общая сторона, AB = CD по условию, Ð BAC =Ð DCA); Þ Ð BCA =Ð DAC;

4. Ð BCA и Ð DAC – внутр. н/л углы при прямых AD, BC и секущей AC; т.к. они равны, то AD ïê BC по признаку параллельности прямых.

5. AB ïê CD по условию; AD ïê BC по доказанному; Þ ABCD - п/г по определению. #

· Признак параллелограмма по противоположным сторонам: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Дано:

ABCD – четырехугольник;

AB = CD; BC=AD.

Доказать: ABCD - п/г.

Доказательство:

1. Проведем диагональ BD.

2. D ABD= D CDB по трем сторонам (BD – общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию); Þ Ð BDA =Ð DBC;

3. Ð BDA и Ð DBC – внутр. н/л при прямых AD, BC и секущей BD; т.к. Ð BDA =Ð DBC, то AD ïê BC по признаку параллельности прямых.

4. AD = BC по условию; AD ïê BC по доказанному; Þ ABCD - п/г по признаку параллелограмма по двум сторонам. #

 

· Признак параллелограмма по углам: Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм (рисунок 11).

Дано:

ABCD – четырехугольник;

Ð; A =Ð C; Ð B= Ð D.

Доказать: ABCD - п/г.

Доказательство:

1. Обозначим ÐA =Ð C = a; Ð B= Ð D = b.

2. Поскольку ABCD – четырехугольник, сумма его внутренних углов равна 180°×(4-2)=360°. Тогда ÐA +Ð B +Ð C +Ð D = a + b + a + b =2×(a + b)=360°; Þ a + b =180°.

3. Ð A и Ð B – внутренние односторонние (сокращенно – внутр. о/с) углы при прямых AD, BC и секущей AB; поскольку Ð A +Ð B = a + b =180°, то по признаку параллельности прямых AD ïê BC.

4. Ð A и Ð D – внутр. о/с при прямых AB, CD и секущей AD; поскольку Ð A +Ð D = a + b =180°, то по признаку параллельности прямых AB ïê CD.

5. Из доказанного AD ïê BC, AB ïê CD; Þ ABCD - п/г по определению. #

 

· Признак параллелограмма по диагоналям: Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм (рисунок 12).

Дано:

ABCD – четырехугольник;

AC Ç BD=O;

AO=OC ; BO=OD.

Доказать: ABCD - п/г.

Доказательство:

1. D AOB =D COD по двум сторонам и углу между ними (AO=OC; BO=OD, Ð AOB =Ð COD как вертикальные); Þ AB = CD, Ð BAO =Ð DCO.

2. Ð BAO и Ð DCO – внутр. н/л при прямых AB, CD и секущей AC; т.к. Ð BAO =Ð DCO, то AB ïê CD по признаку параллельности прямых.

3. AB = CD, AB ïê CD, Þ ABCD – п/г по признаку параллелограмма по двум сторонам. #