Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Параллелограмм, его свойства и признаки.





Параллелограммом (сокращенно – п/г) называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (рисунок 6):

.

Замечание: Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180°, поскольку они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из его вершины к прямой, содержащей одну из противолежащих сторон (на рисунке 6 CF и CH – высоты параллелограмма ABCD).

Замечание: Высота параллелограмма равна расстоянию между его противоположными сторонами (на рисунке 6 ; ).


Параллелограмм обладает следующими свойствами:

· Свойство противоположных сторон и углов параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны попарно равны, и противоположные углы попарно равны (рисунок 7).


Дано:

ABCD – п/г.

Доказать: AB = CD, BC = AD,

Ð AC, Ð BD.



Доказательство:

1. Проведем диагональ BD.

2. Ð ABDCDB как внутренние накрест лежащие (сокращенно – внутр. н/л) углы при параллельных прямых AB, CD и секущей BD.

3. Ð ADBCBD как внутр. н/л углы при AD ïê BC и секущей BD.

4. D ABD =D CDB по стороне и двум прилежащим к ней углам (BD – общая сторона, Ð ABDCDB, Ð ADBCBD); Þ AB = CD, AD = CB, Ð AC. Кроме того, Ð BABDCBDCDBADBD. #


 

· Свойство диагоналей параллелограмма: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (рисунок 8).


Дано:

ABCDп / г;

AC Ç BD = O.

Доказать: AO = OC,

BO = OD.



Доказательство:

1. Ð ADBCBD как внутр. н/л углы при AD ïê BC и секущей BD;

2. Ð CADACB как внутр. н/л углы при AD ïê BC и секущей AC;

3. AD = BC по свойству противоположных сторон и углов параллелограмма.

4. D COB =D AOD по стороне и двум прилежащим к ней углам (BC = AD, Ð OCBOAD, Ð CBOADO); Þ OB = OD, CO = AO. #


 

Оказывается, определить, что четырехугольник является параллелограммом, можно по следующим признакам параллелограмма:

· Признак параллелограмма по двум сторонам: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм (рисунок 9).


Дано:

ABCD – четырехугольник;

AB = CD; AB ïê CD.

Доказать: ABCD - п/г.


Доказательство:

1. Проведем диагональ AC.

2. AB ïê CD; Þ Ð BACDCA как внутр. н/л углы при AB ïê CD и секущей AC;

3. D ABC= D CDA по двум сторонам и углу между ними (AC – общая сторона, AB = CD по условию, Ð BACDCA); Þ Ð BCADAC;

4. Ð BCA и Ð DAC – внутр. н/л углы при прямых AD, BC и секущей AC; т.к. они равны, то AD ïê BC по признаку параллельности прямых.

5. AB ïê CD по условию; AD ïê BC по доказанному; Þ ABCD - п/г по определению. #



· Признак параллелограмма по противоположным сторонам: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.


Дано:

ABCD – четырехугольник;

AB = CD; BC=AD.

Доказать: ABCD - п/г.


Доказательство:

1. Проведем диагональ BD.

2. D ABD= D CDB по трем сторонам (BD – общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию); Þ Ð BDADBC;

3. Ð BDA и Ð DBC – внутр. н/л при прямых AD, BC и секущей BD; т.к. Ð BDADBC, то AD ïê BC по признаку параллельности прямых.

4. AD = BC по условию; AD ïê BC по доказанному; Þ ABCD - п/г по признаку параллелограмма по двум сторонам. #


 

· Признак параллелограмма по углам: Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм (рисунок 11).


Дано:

ABCD – четырехугольник;

Ð; AC; Ð B= Ð D.

Доказать: ABCD - п/г.


Доказательство:

1. Обозначим ÐAC = a; Ð B= Ð D = b.

2. Поскольку ABCD – четырехугольник, сумма его внутренних углов равна 180°×(4-2)=360°. Тогда ÐABCD = a + b + a + b =2×(a + b)=360°; Þ a + b =180°.

3. Ð A и Ð B – внутренние односторонние (сокращенно – внутр. о/с) углы при прямых AD, BC и секущей AB; поскольку Ð AB = a + b =180°, то по признаку параллельности прямых AD ïê BC.

4. Ð A и Ð D – внутр. о/с при прямых AB, CD и секущей AD; поскольку Ð AD = a + b =180°, то по признаку параллельности прямых AB ïê CD.

5. Из доказанного AD ïê BC, AB ïê CD; Þ ABCD - п/г по определению. #


 

· Признак параллелограмма по диагоналям: Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм (рисунок 12).


Дано:

ABCD – четырехугольник;

AC Ç BD=O;

AO=OC ; BO=OD.

Доказать: ABCD - п/г.



Доказательство:

1. D AOB =D COD по двум сторонам и углу между ними (AO=OC; BO=OD, Ð AOBCOD как вертикальные); Þ AB = CD, Ð BAODCO.

2. Ð BAO и Ð DCO – внутр. н/л при прямых AB, CD и секущей AC; т.к. Ð BAODCO, то AB ïê CD по признаку параллельности прямых.

3. AB = CD, AB ïê CD, Þ ABCD – п/г по признаку параллелограмма по двум сторонам. #

 









Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 1077. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Признаки классификации безопасности Можно выделить следующие признаки классификации безопасности. 1. По признаку масштабности принято различать следующие относительно самостоятельные геополитические уровни и виды безопасности. 1.1. Международная безопасность (глобальная и...

Прием и регистрация больных Пути госпитализации больных в стационар могут быть различны. В цен­тральное приемное отделение больные могут быть доставлены: 1) машиной скорой медицинской помощи в случае возникновения остро­го или обострения хронического заболевания...

Сравнительно-исторический метод в языкознании сравнительно-исторический метод в языкознании является одним из основных и представляет собой совокупность приёмов...

Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя...

Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия