Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Параллелограмм, его свойства и признаки.




Параллелограммом (сокращенно – п/г) называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (рисунок 6):

.

Замечание: Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180°, поскольку они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из его вершины к прямой, содержащей одну из противолежащих сторон (на рисунке 6 CF и CH – высоты параллелограмма ABCD).

Замечание: Высота параллелограмма равна расстоянию между его противоположными сторонами (на рисунке 6 ; ).


Параллелограмм обладает следующими свойствами:

· Свойство противоположных сторон и углов параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны попарно равны, и противоположные углы попарно равны (рисунок 7).


Дано:

ABCD – п/г.

Доказать: AB=CD, BC=AD,

ÐAC, ÐBD.



Доказательство:

1. Проведем диагональ BD.

2. ÐABDCDB как внутренние накрест лежащие (сокращенно – внутр. н/л) углы при параллельных прямых AB, CD и секущей BD.

3. ÐADBCBD как внутр. н/л углы при ADïêBC и секущей BD.

4. DABD=DCDB по стороне и двум прилежащим к ней углам (BD – общая сторона, ÐABDCDB, ÐADBCBD); Þ AB=CD, AD=CB, ÐAC. Кроме того, ÐBABDCBDCDBADBD. #


 

· Свойство диагоналей параллелограмма: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (рисунок 8).


Дано:

ABCDп/г;

ACÇBD=O.

Доказать: AO=OC,

BO=OD.



Доказательство:

1. ÐADBCBD как внутр. н/л углы при ADïêBC и секущей BD;

2. ÐCADACB как внутр. н/л углы при ADïêBC и секущей AC;

3. AD=BC по свойству противоположных сторон и углов параллелограмма.

4. DCOB=DAOD по стороне и двум прилежащим к ней углам (BC=AD, ÐOCBOAD, ÐCBOADO); Þ OB=OD, CO=AO. #


 

Оказывается, определить, что четырехугольник является параллелограммом, можно по следующим признакам параллелограмма:

· Признак параллелограмма по двум сторонам: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм (рисунок 9).


Дано:

ABCD – четырехугольник;

AB=CD; ABïêCD.

Доказать: ABCD - п/г.


Доказательство:

1. Проведем диагональ AC.

2. ABïêCD; Þ ÐBACDCA как внутр. н/л углы при ABïêCD и секущей AC;

3. DABC=DCDA по двум сторонам и углу между ними (AC – общая сторона, AB=CD по условию, ÐBACDCA); Þ ÐBCADAC;

4. ÐBCA и ÐDAC – внутр. н/л углы при прямых AD, BC и секущей AC; т.к. они равны, то ADïêBC по признаку параллельности прямых.

5. ABïêCD по условию; ADïêBC по доказанному; Þ ABCD - п/г по определению. #



· Признак параллелограмма по противоположным сторонам: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.


Дано:

ABCD – четырехугольник;

AB=CD; BC=AD.

Доказать: ABCD - п/г.


Доказательство:

1. Проведем диагональ BD.

2. DABD=DCDB по трем сторонам (BD – общая сторона, AB=CD и BC=AD по условию); Þ ÐBDADBC;

3. ÐBDA и ÐDBC – внутр. н/л при прямых AD, BC и секущей BD; т.к. ÐBDADBC, то ADïêBC по признаку параллельности прямых.

4. AD=BC по условию; ADïêBC по доказанному; Þ ABCD - п/г по признаку параллелограмма по двум сторонам. #


 

· Признак параллелограмма по углам: Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм (рисунок 11).


Дано:

ABCD – четырехугольник;

Ð AC; ÐB=ÐD.

Доказать: ABCD - п/г.


Доказательство:

1. Обозначим ÐAC=a; ÐB=ÐD=b.

2. Поскольку ABCD – четырехугольник, сумма его внутренних углов равна 180°×(4-2)=360°. Тогда ÐABCD=a+b+a+b=2×(a+b)=360°; Þ a+b=180°.

3. ÐA и ÐB – внутренние односторонние (сокращенно – внутр. о/с) углы при прямых AD, BC и секущей AB; поскольку ÐAB=a+b=180°, то по признаку параллельности прямых ADïêBC.

4. ÐA и ÐD – внутр. о/с при прямых AB, CD и секущей AD; поскольку ÐAD=a+b=180°, то по признаку параллельности прямых ABïêCD.

5. Из доказанного ADïêBC, ABïêCD; Þ ABCD - п/г по определению. #


 

· Признак параллелограмма по диагоналям: Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм (рисунок 12).


Дано:

ABCD – четырехугольник;

ACÇBD=O;

AO=OC ; BO=OD.

Доказать: ABCD - п/г.



Доказательство:

1. DAOB=DCOD по двум сторонам и углу между ними (AO=OC; BO=OD, ÐAOBCOD как вертикальные); Þ AB=CD, ÐBAODCO.

2. ÐBAO и ÐDCO – внутр. н/л при прямых AB, CD и секущей AC; т.к. ÐBAODCO, то ABïêCD по признаку параллельности прямых.

3. AB=CD, ABïêCD, Þ ABCD – п/г по признаку параллелограмма по двум сторонам. #

 







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 585. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.005 сек.) русская версия | украинская версия