Средняя линия треугольника. Теорема Вариньона.
Замечание: В любом треугольнике можно провести три средние линии. Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине (рисунок 15). Дано: D ABC; M – середина AB; N – середина BC.
Доказательство: 1. Проведем через точку M прямую MK ïê AC: K Î BC. Т.к. AM = MB, то по т. Фалеса BK = KC, т.е. K – середина BC. Но по условию N – середина BC, Þ точки K и N совпадают, а значит, MN ïê AC. 2. Отметим L – середину стороны AC. NL – ср. л. D ABC, Þ из п. 1 NL ïê AB. Тогда AMNL - п/г по определению, Þ
Теорема Вариньона: Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рисунок 16). Дано:
M – середина AB, N – середина BC, K – середина CD,
Доказать: MNKL – п/г. Доказательство: 1. Проведем диагонали AC и BD. 2. MN – ср. л. D ABC, Þ по теореме о средней линии треугольника MN ïê AC; LK – ср. л. D ADC, Þ по теореме о средней линии треугольника LK ïê AC. Тогда MN ïê AC ïê LK, Þ MN ïê LK. 3. ML – ср. л. D ABD, Þ по теореме о средней линии треугольника ML ïê BD; NK – ср. л. D BDC, Þ по теореме о средней линии треугольника NK ïê BD. Тогда ML ïê BD ïê NK, Þ ML ïê NK. 4. MN ïê LK, ML ïê NK, Þ MNKL - п/г по определению. #
|
Средней линией треугольника (сокращенно – ср. л.) называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон (на рисунке 14 MN – средняя линия треугольника ABC).
Доказать: MN ïê AC; 
.
. #
ABCD – четырехугольник;
L – середина AD.
