Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Средняя линия треугольника. Теорема Вариньона.




Средней линией треугольника (сокращенно – ср. л.) называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон (на рисунке 14 MN – средняя линия треугольника ABC).

Замечание: В любом треугольнике можно провести три средние линии.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине (рисунок 15).


Дано:

DABC;

M – середина AB;

N – середина BC.

Доказать: MNïêAC; .


 


Доказательство:

1. Проведем через точку M прямую MKïêAC: KÎBC. Т.к. AM=MB, то по т. Фалеса BK=KC, т.е. K – середина BC. Но по условию N – середина BC, Þ точки K и N совпадают, а значит, MNïêAC.

2. Отметим L – середину стороны AC. NL – ср. л. DABC, Þ из п. 1 NLïêAB. Тогда AMNL - п/г по определению, Þ . #

 


Теорема Вариньона: Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рисунок 16).


Дано:

ABCD – четырехугольник;

M – середина AB,

N – середина BC,

K – середина CD,

L – середина AD.

Доказать: MNKL – п/г.


Доказательство:

1. Проведем диагонали AC и BD.

2. MN – ср. л. DABC, Þ по теореме о средней линии треугольника MNïêAC; LK – ср. л. DADC, Þ по теореме о средней линии треугольника LKïêAC. Тогда MNïêACïêLK, Þ MNïêLK.

3. ML – ср. л. DABD, Þ по теореме о средней линии треугольника MLïêBD; NK – ср. л. DBDC, Þ по теореме о средней линии треугольника NKïêBD. Тогда MLïêBDïêNK, Þ MLïêNK.

4. MNïêLK, MLïêNK, Þ MNKL - п/г по определению. #








Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 343. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия