Средняя линия треугольника. Теорема Вариньона.

Средней линией треугольника (сокращенно – ср. л.) называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон (на рисунке 14 MN – средняя линия треугольника ABC).

Замечание: В любом треугольнике можно провести три средние линии.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине (рисунок 15).

Дано:

D ABC;

M – середина AB;

N – середина BC.

Доказать: MN ïê AC; .

 

Доказательство:

1. Проведем через точку M прямую MK ïê AC: K Î BC. Т.к. AM = MB, то по т. Фалеса BK = KC, т.е. K – середина BC. Но по условию N – середина BC, Þ точки K и N совпадают, а значит, MN ïê AC.

2. Отметим L – середину стороны AC. NL – ср. л. D ABC, Þ из п. 1 NL ïê AB. Тогда AMNL - п/г по определению, Þ . #

 

Теорема Вариньона: Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рисунок 16).

Дано:

ABCD – четырехугольник;

M – середина AB,

N – середина BC,

K – середина CD,

L – середина AD.

Доказать: MNKL – п/г.

Доказательство:

1. Проведем диагонали AC и BD.

2. MN – ср. л. D ABC, Þ по теореме о средней линии треугольника MN ïê AC; LK – ср. л. D ADC, Þ по теореме о средней линии треугольника LK ïê AC. Тогда MN ïê AC ïê LK, Þ MN ïê LK.

3. ML – ср. л. D ABD, Þ по теореме о средней линии треугольника ML ïê BD; NK – ср. л. D BDC, Þ по теореме о средней линии треугольника NK ïê BD. Тогда ML ïê BD ïê NK, Þ ML ïê NK.

4. MN ïê LK, ML ïê NK, Þ MNKL - п/г по определению. #