Асимптоты графика функции
Опр.: Асимптотой графика функции называют прямую, обладающую следующим свойством: расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат, т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности. Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а равен бесконечности, т.е. или . Прямая y = b является горизонтальной асимптотой графика функции , если или . Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции , если существуют одновременно конечные пределы и (или и ). Пример: Для функции прямые х = - 1, х = 1 являются вертикальными асимптотами, т.к. , ; прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой, т.к. . Для функции прямые х = - 2, х = 2 являются вертикальными асимптотами, т.к. , ; прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой, т.к. . Для функции прямая является наклонной асимптотой, т.к. , . 6. Схема исследования функции 1). Найдите область определения функции. 2). Исследуйте функцию на чётность и нечётность, при необходимости – на периодичность. 3). Исследуйте функцию на непрерывность; найдите точки разрыва (если они существуют), установите характер разрыва. 4). Найдите асимптоты графика функции . 5). Найдите точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции. 6). Найдите точки экстремума и интервалы монотонности функции. 7). Найдите точки перегиба и интервалы выпуклости. Найдите значения функции в точках перегиба. 8). Постройте график функции.
Пример: Провести полное исследование и построить график функции . Решение: 1) Область определения функции: . 2) , поэтому функция является функцией общего вида (ни четная, ни нечетная); не периодическая. 3) Функция непрерывна при . При терпит разрыв 2-го рода, т.к. . 4). Найдём асимптоты: прямая - вертикальная асимптота; горизонтальной асимптоты нет; , = = = = = прямая - наклонная асимптота. 5) y = 0 при x = 0 точка (0, 0) - точка пересечения графика функции с осями координат; При функция отрицательна; при положительна. 6) Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции. = 0 x = 0 x = -3; (x) > 0, при на этих интервалах функция возрастает; (x) < 0, при на этом интервале функция убывает. х = -3 – точка максимума; ; точка х = - 1 не может являться точкой минимума, т.к. в ней функция не определена. 7). Найдём точки перегиба и интервалы выпуклости. = 0 x = 0; < 0 при на интервалах кривая выпукла вверх; > 0 при на интервале кривая выпукла вниз (вогнута). Точка х = 0 является точкой перегиба; f (0) = 0.
График функции представлен на рис. 2. Рис. 2. График функции
Пример: Провести полное исследование и построить график функции . Решение: 1) Область определения функции: . 2) , поэтому функция является функцией общего вида (ни четная, ни нечетная); не периодическая. 3) Функция непрерывна при . При терпит разрыв 2-го рода, т.к. , . 4). Найдём асимптоты: прямая - вертикальная асимптота; прямая у = 1 - горизонтальная асимптота; = , = наклонная асимптота вырождается в горизонтальную: у = 1. 5) точек пересечения графика с осью OХ нет, т.к. y 0 ; y = при x = 0 точка (0, ) - точка пересечения графика функции с осью ОY; y > 0 . 6) Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции. < 0 , поэтому точек экстремума нет, функция убывает на всей области определения. 7). Найдём точки перегиба и интервалы выпуклости. = 0 x = 0,5; < 0 при на интервале кривая выпукла вверх; > 0 при на интервалах кривая выпукла вниз (вогнута). Точка х = 0,5 является точкой перегиба; f (0,5) = .
График функции представлен на рис. 3. Рис. 3. График функции
Контрольные вопросы: 1. Как найти промежутки монотонности функции? 2. Дайте определение экстремума функции. Поясните схему нахождения локального экстремума функции. 3. Как найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке? В чем разница между точками глобального максимума (минимума) и локального максимума (минимума)? 4. Дайте определение функции выпуклой вниз (вверх). Что называется точками перегиба? Как исследовать функцию на предмет выпуклости и точек перегиба? 5. Дайте определение асимптоты графика функции. Перечислите и охарактеризуйте все виды асимптот. Приведите примеры. 6. Какова схема исследования функции? Литература: 1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с. 2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с. 3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с. 4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2. 5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006. 6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.
|