Экстремум функции

 

Опр.: Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для любого в некоторой окрестности точки выполнено неравенство ().

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

 

Теорема (необходимое условие экстремума). Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась нулю ( = 0) или не существовала.

 

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными).

 

Теорема (достаточное условие экстремума). Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума функции , а если с минуса на плюс, то – точка минимума.

 

Схема исследования функции на экстремум:

1). Найдите производную .

2). Найдите критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

3). Исследуйте знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделайте вывод о наличии экстремумов функции.

4). Найдите экстремумы функции.

 

Пример: Исследовать на экстремум функцию f (x) = x ³ (x + 2)².

Решение: В предыдущем примере уже найдены производная, критические точки функции и исследован знак производной слева и справа от каждой критической точки. Откуда делаем следующий вывод: x ₂ = -2 – точка максимума; – точка минимума. В точке x ₁ = 0 экстремума нет. Находим ;

.