Формы представления уравнений

Обыкновенное дифференциальное уравнение n- го порядка можно записать в виде соотношения:

. (1.4)

Уравнение включает независимую переменную x, а также неизвестную функцию y (x) и ее производные. Порядок уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение.

В дифференциальное уравнение могут входить также дополнительные переменные: m _,…, m _k. В этом случае говорят, что неизвестная функция зависит от переменных m _,…, m _k как от параметров.

Наряду с уравнениями для одной неизвестной функции в теории дифференциаль­ных уравнений рассматриваются системы уравнений. Система урав­нений первого порядка, разрешенных относительно производных

(1.5)

называется нормальной системой. Введя векторные функции Y ^т=(y ₁,…, y_n), F ^т=(f ₁,…, f_n) можно записать систему (5) в векторной форме

.

Уравнение n -го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид:

Уравнение n -го порядка легко свести к нормальной системе. Для этого введем обозначения:

.

Получим в результате систему уравнений первого порядка для неизвестных .

Пример 1.5. Нормальная система для частного случая уравнения колебаний имеет вид: .

Будем пола­гать независимую переменную действительной величиной. Неизвестные функции могут быть как действи­тельными, так и комплексными функциями действительной пере­менной. Очевидно, что, если в уравнении первого порядка неизвестная функция является комплексной: y (x) = Re(y) +j Im(y), – то такое уравнение эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений для действительных функций Re(y)и Im(y).

Пример 1.6. Частное решение уравнения колебаний в случае малого коэффициента затухания a²<<1 можно записать в виде , где для краткости обозначено . Для проверки достаточно подставить выражения для в исходное уравнение. С помощью такой же проверки легко убедиться, что действительная и мнимая части функции V: , – также являются решениями уравнения.