Формы представления решения дифференциального уравнения

Решением системы дифференциальных уравнений

(1.6)

называ­ется любая совокупность функций y_i (x) (i =1,…, n), которые при подстановке в уравнения обращают их в тождества. Как правило, если дифференциальное уравнение разрешимо, то оно обладает бесчис­ленным множеством решений. Процесс нахождения решений назы­вается интегрированием дифференциального уравнения.

Если решение задано соотношением, определяющим y как неявную функцию x, то такое решение называется интегралом дифференциального уравнения. Для дифференциального уравнения первого порядка

(1.7)

интеграл может быть записан в виде:

, (1.8)

где С – произвольная постоянная. При каждом фиксированном значении С выражение (1.8) опре­деляет некоторое частное решение у=у (х) исходногоуравнения (1.7) как неявную функцию переменного х. Если С рассматривать как параметр, то выражение (1.8) определяет семейство решений у = у(х,С). Если выражение (1.8), в котором С рассматривается как параметр, определяет все множество решений соответствующего дифференциального уравнения, то это выражение называется общим интегралом данного дифференциального уравне­ния, а полученное из него выражение у = у (х, С) называется общим решением дифференциального уравнения.

Обычно рассматриваются уравнений с правыми частями, не­прерывными в некоторой области D изменения неизвестных функ­ций у, и независимой переменной х. Очевидно, что при этом решения y_i (x) представляют собой непрерывно дифференцируемые функции. Однако в приложениях иногда приходится иметь дело с уравнения­ми, правые части которых имеют разрывы (например, при описании ударных нагрузок, мгновенно приложенных сил и т. д.), поэтому и сами решения будут иметь разрывы производных. Тогда естествен­но в качестве решения системы уравнений рассматривать непрерывные функции y_i (x) скусочно-непрерывными производными. При подстановке в уравнения они дифференцируются всюду, за исключением точек разрыва (или отсутствия) производных. Такое решение естественно назвать обобщенным решением.