Геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения

Решение Y(x)системы из n уравнений можно интерпретировать геометрически как кривую в (n+1)-мерном простран­стве переменных х,y₁,...,y_n, которая называется интегральной кривой. Подпространство переменных y₁,..., y_nназывается фазовым пространством, а проекция интегральной кривой на фазовое про­странство– фазовой траекторией.

Для уравнения n-го порядка соответствующим (n+1)-мерным пространством является пространство переменных ; фазовым пространством является пространство переменных .

Пример 1.7. Частным решением уравнения колебаний

в случае малого коэффициента затухания a<<1 является функция , где . Данное решение соответствует начальным условиям: . При a=0 решение описывает колебания постоянной амплитуды с периодом, равным 2p. Если коэффициент затухания a>0, решение описывает затухающий процесс: амплитуда колебаний монотонно стремится к нулю.

Решение уравнения колебаний иллюстрируется рисунками 1.3 – 5. Значение коэффициента затухания выбрано равным . На рис. 1.3 показана зависимость V(t) – проекция интегральной кривой на плоскость V’(t)=0. Интегральная кривая в пространстве переменных показана на рис. 1.4. Кривая представляет собой спираль, “навитую” на ось t. Фазовая траектория показана на рис. 1.5.

Рисунки 1.3 – 5 представляют собой активную вставку, созданную с помощью программы Mathcad. Для активизации вставки достаточно дважды щелкнуть левой кнопкой мышки в поле рисунка. Активизированная вставка позволяет изменять параметры расчетов. Например, если сделать значение коэффициента затухания равным нулю, то получим картину незатухающих колебаний с фазовой траекторией в виде круга. Для возвращения в Word достаточно щелкнуть мышкой вне поля вставки.

Пусть правые части уравнений нормальной системы (1.5) заданы в некоторой области D. Уравнения системы определяют в каждой точке этой области некото­рое направление, задаваемое вектором t=(1, f ₁, …, f_n). Такая об­ласть пространства с заданным в каждой точке направлением называется полем направлений. Интегрирование системы уравнений геометрически интерпретируется как нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с на­правлением t, заданным в данном поле направлений.

В простейшем случае одного уравнения

(1.9)

функция f (x, у)определяет поле направлений в заданной области D плоскости (х,у). Это поле направлений в каждой точке области D задается вектором t (x, у)сугловым коэффициентом f (x, у) (tg(a)= f (x, у)). В поле направлений можно выделить бесконечное множество интегральных кривых – бесконечное множество решений.

На рисунках 1.6 и 1.7 приведены примеры полей направлений. Рисунки представляют собой активные вставки, созданные программой Mathcad. Для активизации вставок достаточно дважды щелкнуть мышкой в поле вставок. Активизация вставок позволяет изменять условия задачи; например, изменив знак на рис. 1.6, построим поле направлений для затухающих экспонент. Для возвращения в Word достаточно щелкнуть мышкой вне поля вставки.

На рисунке 1.6 показано поле направлений для уравнения

.

Показана также интегральная кривая, проходящая через точку (0,1).

На рисунке 1.7 показаны поля направлений для уравнений

и .

Для первого из этих уравнений угловой коэффициент поля направлений в каждой точке кроме точки (0,0) равен угловому коэффициенту прямой, направленной из начала координат в эту точку. Очевидно, что интегральными кривыми являются прямые, проходящие через начало координат. В этом легко убедиться, найдя решение уравнения. Перепишем уравнение в виде

.

Проинтегрируем уравнение, обозначив постоянную интегрирования :

.

Получим отсюда: . Поле направлений показано на левом графике.

При построении второго графика заметим, что угловые коэффициенты поля напраправлений для первого и второго уравнений удовлетворяют условию ортогональности:

.

Следовательно, поле направлений для второго дифференциального уравнения ортогонально полю, показанному на левом графике. Для построения нового графика достаточно увеличить аргументы векторов поля на p/2. Поле направлений для второго уравнения показано на правом графике. Интегральными кривыми в данном случае являются окружности с центром в начале координат. В этом легко убедиться, проинтегрировав уравнение:

Здесь С – произвольная постоянная.