МЕТОДИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ. 1. Назовите основные характеристики плоских волн

30. Сформулируйте условия дифракционых минимумов в случае дифракции на одном отверстии.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ВОДЫ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

 

Изучение волновых процессов на примере поверхнос-тных волн, возбуждаемых на поверхности воды с помощью вибратора, совершающего колебательное движение с регу-лируемой частотой в диапазоне от 20 до 100 Гц. Измерение скорости распространения поверхностных волн, изучение явлений дифракции и интерференции при прохождении по-верхностных волн через отверстия непроницаемых экранов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

 

Различают три основных вида волн: упругие (звуковые, сейсмические и т.д.), электромагнитные (свет, радиоволны и др.) и волны на поверхности жидкости.

Поверхностные волны выделены в отдельную группу, т.к., по словам Р.Фейнмана, "...эти волны нисколько не по-хожи ни на звук, ни на свет, здесь собраны все трудности, какие могут быть в волнах." Действительно, поскольку мо-дуль сдвига для жидкостей и газов равен нулю, то попереч-ные волны в этих средах распространяться не могут. Вмес-те с тем, если следить лишь за изменениями положения по-верхностного слоя жидкости, подвергнутой возмущению, то волны на её поверхности можно назвать поперечными. При формировании волн на поверхности рек и различных водо-емов сочетание различных физических процессов бывает настолько трудно учитываемым (плюс ко всему еще и эф-фект удара при приближении к берегу), что, например, про-цесс возникновения хорошо известной из наблюдений изог-нутой волны до настоящего времени не описан. Вместе с тем, изучение поверхностных волн имеет большое практи-ческое значение для судостроения, при проектировании и эксплуатации гидросамолетов и т.д. Ниже рассматриваются идеализированные условия формирования поверхностных волн в лабораторных условиях, когда ванна заполняется во-дой, вязкость которой полагается пренебрежимо малой, а источником возмущающей силы является погруженный в воду на 0,5 – 1 мм вибратор, совершающий возвратно-пос-тупательное колебательное движение.

При возникновении волновых колебательных процессов кроме возмущающей должна существовать и возвращающая сила. В случае поверхностных волн роль возвращающей си-лы играют силы поверхностного натяжения и силы тяжести.

Поверхность покоящейся жидкости, находящейся под воз-действием только силы тяжести, горизонтальна. Всякое иск-ривление поверхности жидкости, вызванное действием воз-мущающей силы (колебания вибратора), связано с увели-чением её потенциальной энергии, обусловленной действи-ем сил поверхностного натяжения. Под действием этих сил поверхность стремится уменьшиться, т.е. возвратиться в го-ризонтальное положение, в котором потенциальная энергия минимальна. При небольших амплитудах волн пути отдель-ных частиц жидкости с некоторым (довольно большим) при-ближением можно считать окружностями. Круговое движе-ние частиц возникает в связи с тем, что имеет место сумма продольных и поперечных волн. Диаметры этих круговых путей наибольшие для частиц, находящихся на поверхнос-ти, и быстро уменьшаются с глубиной. Поэтому можно счи-тать, что волны распространяются в тонком поверхностном слое жидкости.

Диаметр траекторий поверхностных частиц жид-кости равен разности между впадиной и гребнем. Период полного обращения частицы соответствует продвижению волны на полную ее длину . На гребне волны частица дви-жется в направлении распространения волны, во впадине – в противоположном направлении.

Для определения скорости распространения волны удоб-но рассмотреть движение частиц жидкости на поверхности в системе координат, жестко связанной с движущейся вол-ной. В случае маленьких амплитуд наблюдатель, движущийся вместе с волной, видит частицы, проносящи-еся по поверхности "застывшей" волны в сторону, противо-положную движению волны. Во впадине эта относительная скорость частицы равна , где – скорость волны, – абсолютная скорость частицы.

На гребне относительная скорость частиц меньше, чем во впадине, на удвоенную величину ее абсолютной скорости. Это уменьшение скорости частицы при поднятии на гребень объясняется увеличением ее потенциальной энергии.

Для гравитационных волн (так называют один из видов поверхностных волн), в образовании которых основную роль играют силы тяжести, по сравнению с которыми силы поверхностного натяжения пренебрежимо малы, это изме-нение потенциальной энергии равно весу , умно-женному на высоту:

 

, (10.1)

 

где – ускорение силы тяжести;

– масса частицы.

Изменение кинетической энергии можно определить из соотношения:

 

. (10.2)

 

По закону сохранения энергии , т.е.

 

. (10.3)

 

В случае малых амплитуд очертание волны можно счи-тать синусоидальным. Для гармонических колебаний

 

(10.4)

 

Учитывая это, из (10.3) и (10.4) следует выражение для скорости поверхностных волн, обусловленных влиянием силы тяжести:

 

. (10.5)

 

С ростом длины волны скорость волны, описываемая формулой (10.5), возрастает.

Влияние поверхностного натяжения на величину потен-циальной энергии можно учесть следующим образом.

Рассмотрим вертикальное сечение волны, приведенное на рис. 10.1.

 

Волна распространяется в направлении линии АВ по по-верхности жидкости плотностью и с поверхностным на-тяжением (для воды , ). Линия АQВ – это уровень спокойной поверхности воды, – высота точки Р волновой поверхности над линией АВ.

Если в процессе распространения волны точка Р под-нимается на бесконечно малую высоту , то малый элемент поверхности , включающий точку Р, будет двигаться вверх против действия силы, равной

 

 

где – модуль радиуса кривизны вертикального сечения вол-ны в точке Р.

Работа, совершаемая при подъеме элемента поверхности в произвольной точке Р, равна:

 

, (10.6)

 

где – угол между вертикалью и радиусом кривизны вер-тикального сечения волны в точке Р.

Можно считать, что жидкость, необходимая для напол-нения освободившегося при перемещении элемента поверх-ности пространства, берется с уровня АQВ. Тогда работа, совершаемая против силы тяжести, равна . Вся совершаемая при перемещении элемента поверхности работа, т.е. полное приращение потенциальной энергии, равна:

 

. (10.7)

 

Множитель может быть вычислен из следующих сооб-ражений. Запишем уравнение бегущей волны в виде:

 

 

, (10.8)

 

где – текущее время;

– координата вдоль оси АВ.

Если зафиксировать положение волны в какой-то момент времени , то получим кривую, изображенную на рис. 10.1. Кривизну в любой точке можно вычислить по известному из курса высшей математики соотношению:

 

(10.9)

 

В рассматриваемом случае малых амплитуд вто-рой член в квадратных скобках можно опустить.

Следовательно,

 

(10.10)

 

Подставляя значение крутизны (10.10) в соотношение (10.7), получим:

 

(10.11)

 

Из соотношения (10.11) видно, что поверхностное натяже-
ние как бы увеличивает ускорение силы тяжести на величину .

Учитывая это, можно видоизменить соотношение (10.5) для скорости волны применительно к общему случаю с уче-том как силы тяжести, так и поверхностного натяжения:

 

. (10.12)

 

Выражение под знаком корня есть сумма двух слагае-мых, изменяющихся в противоположном направлении при изменении длины волны. Значение длины волны, соответ-ствующее минимальной скорости, разграничивает область волн, обусловленных действием силы тяжести (гравитаци-онных), от области так называемых капиллярных волн, в образовании которых основную роль играет поверхностное натяжение жидкости. Для чисто капиллярных волн

 

,

 

и скорость

 

. (10.13)

 

В общем случае из (10.12) можно получить выражение коэффициента поверхностного натяжения, выражая ско-рость через частоту колебаний (частота колебаний виб-ратора) и длину волны , определяемую экспериментально. Так как , то

 

(10.14)

 

Соотношение (10.14) используется при определении ко-эффициента поверхностного натяжения жидкости волновым методом.

Поверхностные волны в общем случае (10.12) обладают дисперсией скорости. На реках или водоемах это проявля-ется в том, что при прохождении какого-либо судна на бе-регу вначале слышны редкие, а потом все более частые затухающие всплески. Это объясняется тем, что длинные вол-ны имеют бóльшую скорость. Выше мы определяли фазовую скорость поверхностных волн. Реальное движение происхо-дит с групповой скоростью, которая превышает фазовую (10.12) для длин волн меньших длины волны, соответствующей ми-нимальной фазовой скорости, и меньше нее в противопо-ложном случае.

В тех случаях, когда , где – глубина водоема (приливные волны):

 

(10.15)

 

Это единственный вид поверхностных волн, не обладаю-щих дисперсией.

Поверхностные волны обладают всеми свойствами, при-сущими всем остальным видам волновых процессов. Так, при одновременном распространении нескольких волн ко-лебания частиц оказываются геометрической суммой коле-баний, которые совершали бы частицы при распростра-нении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны накладываются друг на друга, не возмущая одна другую (принцип суперпозиции).

Если колебания, обусловленные волнами, возбужден-ными различными источниками, когерентны, т.е. обладают постоянной разностью фаз в каждой точке среды, при их сложении наблюдается явление интерференции. Интерфе-ренция проявляется в том, что в одних местах волны уси-ливают, а в других ослабляют друг друга.

В данной работе явление интерференции наблюдается при сложении волн, источниками которых являются отверс-тия в непроницаемом экране, установленном в воде на пути распространения первичных поверхностных волн, возбужда-емых вибратором. При этом на экране диаскопа лаборатор-ной установки в местах увеличения амплитуды волновые поверхности имеют меньшую освещенность, а в местах ос-лабления амплитуды – бóльшую освещенность.

Расчет амплитуды колебаний после прохождения через отверстия связан со сложными математическими операци-ями, что затрудняет восприятие происходящих физических явлений. В связи с этим ниже дифракция и интерференция волн рассматриваются упрощенно, однако с сохранением основных качественных особенностей рассматриваемых процессов.

При прохождении волн через одно отверстие в непрони-цаемом экране дифракционная картина имеет вид, изобра-женный на рис. 10.2, а, и качественно может быть объяснена с помощью принципа Гюйгенса. При квазимонохромати-ческом характере колебаний их частота после прохождения через отверстие остается неизменной, а интенсивность су-щественно снижается. При размерах отверстия, сопоста-вимых с длиной волны колебаний, первый волновой фронт (например, максимум амплитуды) сформируется на удале-ниях порядка от центра отверстия, а радиусы после-дующих аналогичных волновых фронтов будут последова-тельно увеличиваться на величину . Форма волнового фронта вблизи отверстия близка к полуокружности.

При прохождении поверхностных волн через два отверс-тия, расстояние между которыми сопоставимо с их размера-ми, наблюдается интерференция волн, которая проявляется в искривлении волновых поверхностей (рис. 10.2, б) на не-больших удалениях от экрана.

При прохождении поверхностных волн через отверс-тий интерференционная картина будет иметь вид, приве-денный на рис. 10.2, в. Сущность процесса формирования волнового фронта в этом случае практически та же, что и при сложении волн в случае двух отверстий.