Электромагнитные колебания.

 

 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

 

Общие положения.

Свободными затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается. Закон, по которому происходят колебания, зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.

Линейными системами являются, к примеру, пружинный маятник при малых деформациях пружины, колебательный контур индуктивность, ёмкость и сопротивление которого не зависит ни от тока в контуре, ни от напряжения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид:

(1.1)

где s - колеблющаяся величина, β = const - коэффициент затухания, ω₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы при отсутствии потерь энергии (при β = 0) называется собственной частотой колебательной системы.

При не слишком сильном затухании (при β; < ω;₀) общее решение уравнения (1.1) имеет вид:

(1.2)

где A ₀ и φ; - произвольные постоянные, ω- величина, определяемая формулой:

. (1.3)

На рисунке 1 дан график функции (1.2). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки s.

Рис.1 График функции

 

В соответствии с видом функции (1.2) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты с амплитудой, изменяющейся по закону:

.

Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A (t), причем величина А ₀представляет собой амплитуду в начальный момент времени.

Период затухания колебаний равен:

При незначительном сопротивлении среды (β; < ω;₀) период колебаний практически не изменяется и равен

.

Последующие наибольшие отклонения в какую–либо сторону (например, и т.д. на рис.) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если , то , и т.д.

Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:

Это соотношение называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм – логарифмическим декрементом затухания.

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания. Выразив β; через δ; и Т, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде:

.

Таким образом, величина δ; определяет степень убывания амплитуды в течение одного периода.

Важной характеристикой колебательной системы является добротность Q - безразмерная величина, равная произведению 2π на отношение энергии W (t) колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до (t + Т), то есть за один период колебания:

Так как энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний A (t), то

При малых значениях логарифмического декремента затухания (δ; <<1) [1 – еxp(-2 δ;) ≈ 2 δ;] и добротность колебательной системы

(1.4)

(T принято равным Т ₀, так как затухание невелико (β; << ω;₀)).

 

Электромагнитные колебания.

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R, соединенных между собой последовательно (рис. 2).

Рис.2 Колебательный контур

Если предварительно заряженный конденсатор замкнуть на катушку индуктивности, то в контуре (рис. 2) возникнут свободные (или собственные) электромагнитные колебания. Точную характеристику этого процесса получим, применив к колебательному контуру обобщенный закон Ома IR = U_c + . Здесь U _c - разность потенциалов на обкладках конденсатора в произвольный момент времени; - ЭДС самоиндукции (в рассматриваемом контуре это единственная ЭДС); ток в контуре I и заряд на конденсаторе q связаны соотношением I = - (dq / dt). где q = CU _c. знак «-» указывает на то, что положительным считается направление тока, соответствующее убыли заряда (разности потенциалов) на конденсаторе.

Подставив значения , I и U_c = q/C в закон Ома и разделив на L, получим

(1.5)

Решение уравнения (1.5) имеет вид

где ω - циклическая частота возникающего в контуре колебательного процесса; φ;₀ - начальная фаза; β; = R/2L - коэффициент затухания колебаний.

Разность потенциалов обкладок конденсатора изменяется по тому же закону, что и заряд:

, где .

График зависимости U _c(t)(для φ;₀ = 0) изображен на рис.3. Множитель A (t) = U ₀ e^-βt,

 

Рис.3

 

называемый амплитудой колебательного процесса, убывает по экспоненциальному закону (пунктирная линия на рис. 3); U ₀ - начальная амплитуда. Величина ω; согласно (1.1), (1.3) и (1.5) определяется формулой

.

Из этого выражения следует, что свободные затухающие колебания возможны в контуре, сопротивление которого удовлетворяет условию

или

При этом переход электрической энергии в магнитную и обратно будет происходить с потерей на джоулево тепло. Если , то разряд конденсатора теряет колебательный характер и происходит апериодически. Сопротивление, при котором начинается апериодический процесс, называется критическим.

В отсутствие сопротивления (R = 0) в контуре возникают свободные незатухающие колебания с частотой , которую называют собственной частотой контура. Период таких колебаний

.

При этом энергия электрического поля конденсатора С полностью переходит в энергию магнитного поля катушки L и наоборот.

При малых затуханиях (δ; <<1) для добротности контура из (1.4) следует:

. (1.6)

 

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА